《新编基础物理学》学习指导 第3章 刚体力学基础

第3章 刚体力学基础

一、基本要求

1．理解质点及刚体转动惯量、角动量的概念，并会计算质点及刚体（规则形状刚体）的转动惯量、角动量； 2．理解刚体绕定轴转动的转动定律，并应用它来求解定轴转动刚体力矩和角加速度等问题； 3．会计算力矩的功、刚体的转动动能、刚体的重力势能，会应用机械能守恒定律解答刚体定轴转动问题；

4．掌握刚体的角动量定理和角动量守恒定律，并会分析解决含有定轴转动刚体系统的力学问题(质点与刚体碰撞类问题等)。

二、基本内容

（一）本章重点和难点：

重点：刚体绕定轴转动定律及角动量守恒定律。

难点：刚体绕定轴转动系统的角动量守恒定律及其应用。 (二) 知识网络结构图：

??力矩????转动惯量?基本物理量??冲量矩? ??角动量?????转动动能???定轴转动定律?基本定律???角动量守恒定律?牛二定律 转动定律 定轴转动的动能定理 定轴转动的角动量定理 质点角动量定理 机械能守恒定律 系统角动量守恒定律 质点角动量守恒定律 （三）容易混淆的概念：

1.转动惯量和质量

转动惯量反映刚体转动状态改变的难易程度，即刚体的转动惯性大小的量度；质量反映质点运动状态改变的难易程度，即质点的惯性大小的量度。

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2.平动动能和转动动能

平动动能是与质量和平动速度的平方成正比；转动动能是与转动惯量和角速度的平方成正比。

（四）主要内容：

1．描述刚体定轴转动的角位置?，角位移??、角速度?和角加速度?（?）等物理量

??d?d?,??dtdt

角量与线量的关系：

s?r?v?r?at?r? an?r?2

2．转动惯量--转动质点对转轴的转动惯量，等于转动质点的质量m成以质点到转轴的距离r的平方。J?m?r2

J??r2dm

（1）质量连续分布的刚体：

线分布：dm???dl ?-质量线分布刚体，单位长度的质量。 面分布：dm???dS ?- 质量面分布刚体，单位面积的质量。 体分布：dm???dV ? 质量体分布刚体，单位体积的质量。 （2）质量离散分布刚体的转动惯量：J?（3）平行轴定理 J?JC?md

3．刚体绕定轴转动的转动定律—刚体的合外力矩等于转动惯量乘以角加速度。

2?m?ri2

M?J??Jd?dt

M??Mi??ri?Fi

???M?r?F 力矩：

力对轴的力矩大小：M?rFsin?

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4．刚体绕定轴转动的动能定理--合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。

W??Md???1?211J?22?J?12 22W??Md? 力矩的功

?1?2Ek?1J?22 刚体绕定轴转动的转动动能：

对于质点、刚体组成的系统，动能定理仍然适用，系统的动能包括系统内所有质点的平

动动能和刚体的转动动能。

5．刚体转动系统机械能守恒定律--当转动刚体系统内力只有保守力矩作功，其他外力矩和非保守内力矩不作功或作的总功为零，则整个系统机械能守恒。

Ek?Ep?1J?2?mghc?常量 2EP?mghc 刚体的重力势能

6．角动量定理与角动量守恒定律 （1）角动量—质点位矢与动量的叉积。

运动质点对某一定点的角动量：L?r?p?r?mv 刚体绕定轴转动的角动量：L?J?

（2）角动量定理--对一固定轴，作用于系统的合外力矩的冲量矩等于系统对该轴的角动量的增量。

??????Mdt?J?2?J?1

?t2t1Mdt 冲量矩：力矩的时间积累效应。

（3）角动量守恒定律--若刚体所受合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。 当M?0时，L?J??常量 （五）思考问答：

问题1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。试问：在?t时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较

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大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？

答：刚体绕定轴转动时，刚体内的任意各点具有相同的角速度、角加速度；各点的线速度、线加速度与角量之间的关系为：v??r,a??r?,an?r?2。所以飞轮边缘处的点的运动路程较长；两点转过的角度一样大；边缘的点具有较大的线速度、线加速度，两点的角速度、角加速度一样大。

问题2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？

答： 合外力为零时，其合力矩不一定为零。合外力矩为零时，其合外力不一定为零，刚体绕定轴O在纸平面内转动，其中r1?2r2,F2?2F1，其合力矩

M=F1r1?F2r2?0，但其合力

F?F1?F2?3F1?0。

问题3 有两个飞轮。一个是木制的，周围镶上铁质的轮缘。另一个是铁质的，周围镶上木制的轮缘。若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动量较大？ 答：从转动动能Ek?1J?2可知，当两者?相同时，J越大的飞轮，其EK也越大。由 2J??r2dm可得木制飞轮的转动惯量为：

1????M总?M木?R2

2??11?1???而铁制飞轮的转动惯量为：J铁?M铁R2?m木R2??M铁?m木?R2??M总?M铁?R2

22?2???11由于两个飞轮的半径相同，且M铁?M木，所以J木?J铁，即木制的飞轮动能较大。

22问题4 如果一个质点系的总角动量等于零，能否说此质点系中每一个质点都是静止的？如果一个质点系的总角动量为一常量，能否说作用在质点系上的合外力为零？

11J木?M木R2?m铁R2?(M木?m铁）R222??????答：由于L?r?P?r??mv?，所以，角动量不仅取决于矢径r、动量mv的量值，还取

决于矢径与动量之间的夹角（取向），因此，总角动量为零，可以有两种情况：第一，每一个质点的角动量都不为零，但总和为零，则每一个质点不可能静止；第二，每一个质点的角动量都为零，此时，可以使每一个质点都静止，也可以是矢径与速度相互平行。综上可知，每一质点不一定都静止。此外，角动量守恒的条件是合外力矩为零，而合外力不一定是零。 问题5 下面几个物理量中，那些与原点的选择有关？那些无关？（1）位矢；（2）位移；（3）速度；（4）角动量。

答：位移，速度与参考系选择有关，与坐标原点选择无关；位矢、角动量既与参考系选择有

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关，也与坐标原点选择有关。

问题6 转动惯量的物理意义是什么，大小和什么有关？

答： 转动惯量的物理意义是：描述刚体作转动时保持其原运动状态的性质——转动惯性。转动惯量的大小不仅与刚体的质量有关，也与转轴的位置有关，也就是说与刚体的总质量和相对于转轴的分布有关。

问题7 为什么在研究刚体运动时，要研究力矩的作用？力矩和哪些因素有关？

答：一个静止的刚体能够获得平动加速度的原因是：相对它的质心而言所受的合外力不为零。一个静止的刚体相对某一转轴能够获得角加速度的原因是：刚体所受到的相对转轴的合外力矩不为零。因此，刚体的转动是与其受到的相对转轴的合外力矩密切相关的。

取z轴为刚体转动的固定轴时，对转动有贡献的合外力矩是Mz??Miz，其中

Miz?Firisin?i，Fi是作用在刚体上的第i个外力，在转动轴平面内的分量，而ri是转轴

(z轴）到Fi作用点的距离，?i是ri与Fi间由右手定则决定的夹角。所以，对z轴的力矩不但与各外力在转动平面内分量的大小Fi有关，还与Fi的作用线和z轴的垂直距离（力臂）

di?risin?i的值有关。

问题8 在定轴转动中，质点与刚体发生碰撞时动量是否守恒？

答：质点与定轴转动的刚体发生碰撞时，转轴作用于刚体的力（外力）不为零，且比较大，不能忽略，故系统的动量不守恒。只有在合外力矩为零时，角动量守恒。

问题9 在一个系统中，如果该系统的角动量守恒，动量是否一定会守恒？反之，如果该系统的动量守恒，角动量是否一定守恒？

答：不一定。当作用于一个系统的合外力矩为零时，合外力（即外力的矢量和）不一定为零，所以该系统的角动量守恒时，动量不一定守恒。同理，当对一个系统作用的合外力为零时（即外力的矢量和），合外力矩不一定为零，所以该系统的动量守恒时，角动量也不一定守恒。

三、解题方法

1.刚体绕定轴转动的特征：刚体内每个质点都在与转轴垂直的平面内作圆周运动，每个质点的角速度、角加速度均相同；但因每个质点距转轴的距离不同，即作圆周运动的半径不同，故各质点的线速度，线加速度不同。

2．类比方法：与质点动力学相似，刚体绕定轴转动存在一些与质点直线运动相对应的定理和定律（刚体绕定轴转动运动学公式与质点直线运动学公式、刚体绕定轴转动定律与牛顿第二定律），利用与质点动力学类比，便于对刚体绕定轴转动定理和定律的记忆和理解。

3．解动力学问题时，定理、定律的选择技巧：到目前为止，我们已学习了牛顿运动定律、动量定理、动量守恒定律、动能定理、功能原理、机械能守恒定律、角动量守恒定律等。我们会迂到质点平动、刚体转动、综合等问题，在解这些动力学问题时，如何选择其中的某些定理、定律来解题呢？

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