A?B??，并且这时有:

B?B?X?(B?A)?(B?B)?B

从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足. A?B??,A?B?X8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B?A?，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A?B?X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空. 五．简答题（每题4分）

1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A?B.试说明d(A)?d(B).

答案：对于任意x?d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U?(A?{x})??,由于A?B，从而

U?(B?{x})?U?(A?{x})??，因此x?d(B)，故d(A)?d(B).

2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明g?f:X?Z也是连续映射.

答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y?Z是一个连续映射，从而g?1(W)是Y的一个开集，由f:X?Y是连续映射，故f?1(g?1(W))是X的一开集，因此 (g?f)?1(W)?f?1(g?1(W))是X的开集，所以g?f:X?Z是连续映射.

3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集. 答案：对于?x?A?,则x?A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U?(A?{x})??,因此U?A??，即U?A?,所以对任何x?A?,A?是x的一个邻域，这说明A?是一个开集. 4、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A的补集A?是一个开集，则A是一个闭集. 答案：设x?A,则x?A?,由于A?是一个开集，所以A?是x的一个邻域，且满足A??A??,因此x?A,从而A?A,即有A?A，这说明A是一个闭集. 5、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T.

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答案：T ?{?,Y,{[0]},{[0],[1]}} 6、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 7、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?1]},{[?1],[1]}} 8、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?2],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?2]},{[?2],[1]}} 9、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 10、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 11、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?

x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

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设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 六、证明题（每题8分）

1、设f:X?Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得

f(X)?A?B …………………………………………… 3分

于是f?1(A),f?1(B)是X的非空子集，并且：

(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A))?(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A)) ?f?1((A?B)?(A?B))??所

以

f?1(A),f?1(B)?1是

?1X的非

?1空隔离子集 此外，

f?1(?A)f(?B)?f(A?f(X)是Y的一不连通，矛盾.从而)B，这说明(f?X(f)X)X个连通子集. ………………………… 8分

2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.

证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分

由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若

A?Y??,则Y?B………………… 8分

3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.

证明：因为A,B是X的闭集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的闭集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分

由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若

A?Y??,则Y?B………………… 8分

4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个连通子集. 证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z?A?B.因此

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Y?A?B ………………………………… 3分

由于Y是连通的，所以Y?A或者Y?B,如果Y?A，由于Z?Y?A，所以Z?B?A?B??，因此 B?Z?B??,同理可证如果Y?B，则A??,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分

5、设{Y?}???是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果????Y???,则????Y?是X的一个连通子集. 证明：若

????Y?是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A,B使得

????Y??A?B………………………………………… 4分

任意选取x?????Y?,不失一般性，设x?A,对于每一个???，由于Y?连通，从而????Y??A及B??,矛盾，

所以????Y?是连通的. ………………………………………… 8分

6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A?B??,则A?B.

证明：若B?X,则结论显然成立.

下设B?X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而A?B是X的子空间A的一个既开又闭的子集………………………………… 4分

由于A?B??及A连通，所以A?B?A，故A?B.………… 8分 7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界?(A)??. 证明：若?(A)??,由于?(A)?A??A??,从而

??A??A???(A??A??)?(A?A?)?(A??A?)?(A?A??),

故A ,A?是X的隔离子集 ………………………………………… 4分

因为A是X的非空真子集,所以A和A?均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以

?(A)??. ……………………………………………… 8分

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