兰州大学运筹学——线性规划在管理中的应用 课后习题题解 下载本文

即最优解:(18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0),最优值:63.3333

因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为: 即最优解:(19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0),最优值:64 灵敏度分析报告:

可变单元格

单元格 $C$34 $D$34 $E$34 $F$34 $G$34 $H$34 $I$34 $J$34 $K$34 $L$34

名字 最优解 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

终值 18.33333333

递减成本

0

1 0.071428571 1 1 1

允许的减量

0.25

目标式系数 允许的增量

0 0.055555556 0 0.111111111 0 0.111111111 20

0

1E+30 0.055555556 1E+30 0.111111111 1E+30 0.111111111

1 0.083333333 0.166666667 1 1

1E+30 0.166666667 1E+30 0.166666667

0 0.166666667 0 0.166666667 25

0

1 0.111111111 0.555555556 1 1

1E+30 0.055555556 1E+30 0.111111111

0 0.055555556 0 0.111111111

约束 单元格 $R$11 $R$12 $R$13

名字 实际值 实际值 实际值

终值

阴影价格 75 0.333333333 50 0.277777778 110 0.222222222

允许的减量

55 50 60

约束限制值 允许的增量

75 50 110

1E+30

60 165

即:

目标函数最优值为 : 63.333

变量 最优解 相差值 x1 18.333 0 x2 0 .056 x3 0 .111 x4 0 .111 x5 20 0 x6 0 .167 x7 0 .167

x8 25 0 x9 0 .056 x10 0 .111 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 0 -.333 2 0 -.278 3 0 -.222 目标函数系数范围 :

变量 下限 当前值 上限 x1 .75 1 1.071 x2 .944 1 无上限 x3 .889 1 无上限 x4 .889 1 无上限 x5 .833 1 1.083 x6 .833 1 无上限 x7 .833 1 无上限 x8 .444 1 1.111 x9 .944 1 无上限 x10 .889 1 无上限 常数项数范围 :

约束 下限 当前值 上限 1 20 75 无上限 2 0 50 110 3 50 110 275

这是一个统计型的线性规划问题,所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。 松弛/剩余变量都为0,表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。

三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个,将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。

常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内,每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。这里需要特别指出的是,第一种规格的薄铜板32cm宽,已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板,所以这种规格的薄铜板无论增加多少,都不改变用原铜板的比例。

5.3 某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次,每人要连续工作二个班次。各班次需要医生人数如下表:

班次 1 2 3 4 5 6 时间 0:00-4:00 4:00-8:00 8:00-12:00 12:00-16:00 16:00-20:00 20:00-24:00 人数 4 7 9 12 8 6 其中,第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。问在各班开始时应该分别有几位医生报到。若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴,为了使支付总的夜班津贴为最少,应如何安排各班开始时医生的报到人数。

解:第一步:不考虑夜班津贴。 1、 确定决策变量

设每个班次开始时安排人数为xi(i=1,2,3,4,5,6) 2、 确定目标函数

本问题的目标是每天安排的总人数为最少,而每天安排的总人数为 x1+x2+x3+x4+x5+x6

所以目标函数为: min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6 3、 确定约束条件

x6+x1≥4 第一班的人数要求

x1+x2≥7 第二班的人数要求 x2+x3≥9 第三班的人数要求 x3+x4≥12 第四班的人数要求 x4+x5≥8 第五班的人数要求 x5+x6≥6 第六班的人数要求

所以本问题的线性规划数学模型为:

min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6

S.T. x6+x1≥4

x1+x2≥7 x2+x3≥9 x3+x4≥12 x4+x5≥8 x5+x6≥6

xi≥0(i=1,2,3,4,5,6)

用Excel线性规划求解模板求解得:

即:第一班安排7人,第三班安排10人,第四班安排2人,第五班安排6人,第二、第六班不安排人。总人数为25人。

灵敏度分析报告:

可变单元格 单元格 $C$34 $D$34 $E$34

名字 最优解 x2 x3

终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量

7 0 10

0 0 0

1 1 1

0 1E+30

0

1 0 1

$F$34 $G$34 $H$34 约束 单元格 $R$11 $R$12 $R$13 $R$14 $R$15 $R$16

x4 x5 x6 名字 实际值 实际值 实际值 实际值 实际值 实际值

2 6 0

0 0 0

1 1 1

1 0 1E+30

0 1 0

终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量

7 7 10 12 8 6

0 1 0 1 0 1

4 7 9 12 8 6

3 1E+30

1 1E+30

1 2

1E+30

3 1E+30

1 2 1

目标函数最优值为 : 25

变量 最优解 相差值 x1 7 0 x2 0 0 x3 10 0

x4 2 0

x5 6 0 x6 0 0

约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 3 .0 2 0 -1 3 1 .0 4 0 --1

5 0 . 0

6 0 --1

目标函数系数范围 :

变量 下限 当前值 上限 x1 0 .1 1

x2 1 1 无上限. x3 0 . 1 1

x4 1 . 1 2

x5 0 1 1 x6 1 1 无上限 常数项数范围 :

约束 下限 当前值 上限 1 无下限 4 7 2 4 7 无上限 3 无下限 9 10 4 11 12 无上限

5 6 8 9

6 5 6 8

这是一统计型线性规划规划问题,所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。 班次 1 2 3 4 时间 0:00-4:00 4:00-8:00 8:00-12:00 12:00-16:00 所需人数 本段安排人数 上段安排人数 本段实际人数 多余人数 4 7 9 12 7 0 10 2 0 7 0 10 7 7 10 12 3 0 1 0 5 6 16:00-20:00 20:00-24:00 合计 8 6 46 6 0 25 2 6 8 6 50 0 0 4 松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数”一列是各时间段安排所剩余的人数。 “对偶价格”一栏。

第一个常数项由4增加到5,因为还剩下2人,所以不会改变最优值;

第二个常数项由7增加到8,因为再没有剩余的人,所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1,因为是求最小化问题,所以对偶价格为-1;

第三个常数项由9增加到10,刚好将原来剩余的人用上,所以不会改变最优值; 第四个、第六个常数项与第二个常数项一样;

第五个常数项由2增加到3,因为再没有剩余的人,所以本班必须再多安排一个人,但下个班就可以再少安排一个人,所以不会改变最优值;

本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果,所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素,这里第一个时段是特殊情况(有资源剩余),其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。因此,第2时段为-1,第3时段为0,后面的依次相反。若第2时段为0,则第3时段就为-1。

第二步:考虑夜班津贴。

因为1、2、6班为夜班,与这三班安排人员有x1、x2、x3、x5、x6 所以 目标函数为:

min f=x1+x2+x3+x5+x6 约束条件不变

所以其线性规划数学模型为:

min f=x1+x2+x3+x5+x6 S.T. x6+x1≥4

x1+x2≥7 x2+x3≥9 x3+x4≥12 x4+x5≥8 x5+x6≥6

xi≥0(i=1,2,3,4,5,6)

用Excel线性规划求解模板求解得: