兰州大学运筹学——线性规划在管理中的应用 课后习题题解 下载本文

的塑料产品不能少于5公斤。请设计一套配料方案,使总的成本为最低。

解:设配料用量xi(i=1,2,3,4)

总成本=11×(0.3x1+0.4x2+0.2x3+0.15x4)+13×(0.2x1+0.3x2+0.6x3+0.4x4)+12×(0.4x1+0.25x2+0.15x3+0.3x4)

=10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4 约束条件:

0.3x1+0.4x2+0.2x3+0.15x4=0.2(x1+x2+x3+x4) 原料A含量 0.2x1+0.3x2+0.6x3+0.4x4≥0.3(x1+x2+x3+x4) 原料B含量

0.4x1+0.25x2+0.15x3+0.3x4≥0.2(x1+x2+x3+x4) 原料C含量 x1≥0.3(x1+x2+x3+x4) 配料1含量 x2≤0.4(x1+x2+x3+x4) 配料2含量 x1+x2+x3+x4≥5 产量要求 xi≥0(i=1,2,3,4,) 可得线性规划数学模型:

min f =10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4 S.T. 0.1x1+0.2x2 -0.05x4=0 -0.1x1 +0.3x3+0.1x4≥0

0.2x1+0.05x2-0.05x3+0.1x4≥0

0.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x4≥0 -0.4x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4≤0 x1+x2+x3+x4≥5 xi≥0(i=1,2,3,4,)

将模型代入到线性规划求解模板,得结果:

即:用配料1,1.5公斤;用配料2,0.1公斤;用配料3,0公斤;用配料4,3.4公斤; 花费总的最低成本49.31元。

灵敏度分析报告: 可变单元格

目标式

单元格 名字 终值 递减成本 允许的增量 允许的减量

系数

$C$34 $D$34 $E$34 $F$34 约束

x1 x2 x3 x4

1.5 0.1 0 3.4

0 0 1.98 0

10.7 11.3 11.8 9.45

1.47623E+11 0.233333333

1E+30 0.35

0.14 493.1000001

1.98 14.50294118

终值

0 0.19 0.645 0 -1.9 5

阴影价格

7.4 0 0 0.14 0 9.862

单元格 名字 $R$11 $R$12 $R$13 $R$15 $R$14 $R$16

实际值 实际值 实际值 实际值 实际值 实际值

约束限制值

0 0 0 0 0 5

允许的增量 允许的减量

0.475 0.19 0.645 0.166666667

1E+30 1E+30

0.025 1E+30 1E+30 1.5 1.9 5

目标函数最优值为 : 49.31

变量 最优解 相差值 x1 1.5 0 x2 .1 0 x3 0 1.98 x4 3.4 0

约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 0 -7.4 2 .19 0 3 .645 0 4 0 -.14 5 1.9 0

6 0 -9.862 目标函数系数范围 :

变量 下限 当前值 上限 x1 10.56 10.7 无上限 x2 -481.8 11.3 11.533 x3 9.82 11.8 无上限 x4 -5.053 9.45 9.8 常数项数范围 :

约束 下限 当前值 上限 1 -.025 0 .475 2 无下限 0 .19 3 无下限 0 .645 4 -1.5 0 .167 5 -1.9 0 无上限 6 0 5 无上限

本问题的相差值栏,x3的相差值为1.98,表示目前配料3的成本11.8太高,无法选用,若该配料的成本再降低1.98元就可以选取用。

松弛/剩余变量栏:前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系。松弛/剩余变量为0 关系表示已完全按要求配比,不为0 的表示没有达到配比要求。第五个约束是总产品的产量最低限,松弛/剩余变量为0 表示已达到产量要求。

关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时,对总费用的影响。不为0的对偶价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量。第五个对偶价格是每增加一公斤的产品,需要增加的费用值。

在学数项取值范围栏:前五个约束在常数项在这个范围内,保持上述的对偶价格,而此时的上限都不高,说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重,若比例失衡将会导致费用的增加比例更大。对五个对偶价格实际上说明了该产品的绝对成本,在这个方案下,生产多少的产品都是这个成本构成。

5.5 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品,产品Ⅰ需经过A、B两种机器加工,产品Ⅱ需经过A、C两种机器加工,产品Ⅲ需经过B、C两种机器加工,产品Ⅳ需经过A、B两种机器加工。有关数据见下表所示: 产品 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 每周可用机时数 机器生产率(件/小时) 原料成本(元/件) 产品价格(元/件) A 10 20 20 150 B 20 10 10 150 120 C 10 15 225 70 16 25 12 18 65 80 50 70 机器成本(元/小时) 200 请为该厂制定一个最优生产计划。 解:分别设四种产品的产品为x1,x2,x3,x4,设备使用情况如下表: 产品 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 每周可用机时数 机器生产率(件/小时) 原料成本(元/件) 产品价格(元/件) A x1 x2 x4 150 B x1 x3 x4 150 120 C x2 x3 225 70 16 25 12 18 65 80 50 70 机器成本(元/小时) 200 利润=产品价格-原料成本-机器成本

=(65-16)×x1+(80-25)×x2+(50-12)×x3+(70-18)×x4

-200×(x1/10+x2/20+x4/20)-150×(x1/20+x3/10+x4/10)-225×(x2/10+x3/15)=(65-16-20-150/20) × x1+(80-25-10-225/10)×x2+(50-12-15-225/15)×x3+(70-18-10-15)×x4

=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4

约束条件:x1/10+x2/20+x4/20≤150 提供可使用的机时数限制 x1/20+x3/10+x4/10≤120 x2/10+x3/15≤70

因此可得线性规划数学模型:

max Z=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4

S.T. 2x1+x2+x4≤3000 x1+2x3+2x4≤2400 3x2+2x3≤2100

xi≥0(i=1,2,......4)

用Excel线性规划求解模板求解得:

即:最优生产方案:产品Ⅰ生产733.3件; 产品Ⅱ生产700件; 产品Ⅲ不安排生产; 产品Ⅳ生产833.3件。

可获得的最高利润:54016.7元。 灵敏度分析报告:

可变单元格 单元格 $C$34

名字 最优解

终值 733.3333333

700

递减成本

0 0

目标式系数 允许的增量 允许的减量

21.5 22.5

22.6

8

$D$34 x2 $E$34 $F$34 约束 单元格 $R$11 $R$12 $R$13

x3 名字 实际值 实际值 实际值

1E+30 17.16666667

1E+30

0 -25.11111111

833.3333333

终值

阴影价格

0

8 25.11111111 27

16 16.14285714

约束限制值 允许的增量 允许的减量

3000 2400 2100

2500 2200 3300

1100 1250 2100

3000 5.333333333 2400 10.83333333 2100 5.722222222

即:目标函数最优值为 : 54016.6505

变量 最优解 相差值 ------- -------- -------- x1 733.333 0 x2 700 0

x3 0 25.111 x4 833.333 0

约束 松弛/剩余变量 对偶价格 ------- ------------- -------- 1 0 5.333 2 0 10.833 3 0 5.722