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浅谈数学思想在中学数学教学中的应用

作者：马艳红

来源：《神州》2012年第15期

（河北省唐海县第三中学 河北 唐海 063200)

【中图分类号】G636 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2012)05-0223-02 所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学教学中提出问题、解决问题过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。掌握数学思想方法，就是掌握数学的精髓，因此要使学生领悟、掌握和熟练地使用数学思想方法，不是机械的传授，还需要学生自身的理解和感悟。下面我就数学思想在中学数学中的应用谈谈个人的一些认识：

数学思想方法的渗透主要是在具体知识的教学过程中实现的。因此，要贯彻好渗透性原则，就要不断优化教学过程。比如，概念的形成过程；公式、法则、性质、定理等结论的推导过程；解题方法的思考过程；知识的小结过程等，只有在这些过程的教学中，数学思想方法才能充分展现它们的活力。取消或压缩教学的思维过程，把数学教学看为知识结论的教学，就失去了渗透数学思想方法的机会，使数学思想方法无有用武之地。中学数学中的思想方法主要体现在以下几方面： 1 函数与方程思想

就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。中学数学中，方程、不等式等问题都可利用函数思想得以简解。 2 数形结合思想:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的

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“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。

如心电图、股市行情走势图等，图象中含有着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置发展变化趋势等有关信息中获取启发。教学中根据函数的图象确定一次函数的表达式，由函数图象获取信息，由y=kx+b中k、b的值，可画函数的图象；由函数图象，能判断k、b的取值范围；以及y 随x的变化而变化的情况。让学生把一次函数的性质熟练运用，进一步体现数形结合思想。 3 分类讨论思想

就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分為不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。

例如一次函数y=kx+b的图象经过哪几个象限，这时就要分四类讨论： (1)当k＞0,b＞0时，图象经过一二三象限； (2)当k＞0,b＜0时，图象经过一三四象限； (3)当k＜0,b＞0时，图象经过一二四象限； (4)当k＜0,b＜0时，图象经过二三四象限。

又如在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。 4 化归与转化思想

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在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。化归与转化的一般原则是：①化归目标简单化原则；②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。）；③具体化原则；④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已经建立起来的数学模式。如二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）；椭圆方程）；⑤低层次化原则（解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决。这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单）。化归与转化的策略有：①已知与未知的转化（已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使已知条件朝着明朗化的方向转化，如综合法；对于一个未知的新问题，通过联想，寻找转化为已知的途径，或从结论人手进行转化，如分析法）。②正面与反面的转化（在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破性的效果）。③数与形的转化（数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求）。 ④一般与特殊的转化。⑤复杂与简单元的转化（把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则）。 5 整体思想

就是将注意力和着眼点放在问题的整体上，或把一些相互联系的量作为整体来处理的思想。不仅能避免复杂的计算，而且能达到解决问题的目的。 6 类比思想

即所谓的“类比发现法”，就是通过对两个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个已经学过的、熟知的研究对象所具有的性质，去猜想另一个研究对象所具有的类似的性质。同学们可由题目结构相同或类似，类比可得题目间解题的方法可能相同或类似，以此尝试确定解题的思路。

总之，数学教学不仅是数学知识的传授，更应让学生学会数学思想、方法，在数学思想的指引下，利用恰当的数学方法，不但让学生在学习中能够运用自如，而且也能终身受益。