(2)在△ABC中,A+B+C=π, 即B=π-(A+C), 故sin B=sin(A+C),
由已知sin B+sin(C-A)=2sin 2A可得sin(A+C)+sin(C-A)=2sin 2A, 所以sin Acos C+cos Asin C+sin Ccos A-cos Csin A=4sin Acos A, 整理得cos Asin C=2sin Acos A. π
若cos A=0,则A=,
2223
由b=2,可得c==,
tan B3123
此时△ABC的面积S=bc=.
23若cos A≠0,则sin C=2sin A, 由正弦定理可知,c=2a,
23432222
代入a+c-b=ac,整理可得3a=4,解得a=,所以c=,
33123
此时△ABC的面积S=acsin B=.
2323
综上所述,△ABC的面积为.
3
解三角形的综合问题(综合型)
[典型例题]
命题角度一 正、余弦定理与平面几何的综合
(2018·成都模拟)如图,在直角梯形ABDE中,已知
∠ABD=∠EDB=90°,C是BD上一点,AB=3-3,∠ACB=15°,∠ECD=60°,∠EAC=45°,则线段DE的长度为________.
【解析】 易知∠ACE=105°,∠AEC=30°,在直角三角形
ABC中,AC=
ABsin 15°
,在三角形AEC中,
CEACsin 45°=?CE=,
sin 30°sin 45°sin 30°
AC在直角三角形CED中,DE=CEsin 60°,
23
×22sin 45°sin 60°AB3-3
所以DE=CEsin 60°=×=×=6.
sin 30°sin 15°16-2
24【答案】 6
利用正、余弦定理求解平面几何中的问题,应根据图形特征及已知条件,将所给量及待求量放在同一个三角形中,结合三角形内角和定理,外角和定理及正、余弦定理求解.
命题角度二 正、余弦定理与最值(范围)问题的综合
(1)(2018·潍坊模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,外接圆
tan A2c-b的半径为1,且=,则△ABC面积的最大值为________.
tan Bb(2)(2018·西安模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a+b-
2
2
c2)(acos B+bcos A)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为________.
tan A2c-bbsin Asin B【解析】 (1)因为=,所以=(2c-b),由正弦定理得sin Bsin
tan Bbcos Acos BAcos B=(2sin C-sin B)sin Bcos A,又sin B≠0,所以sin Acos B=(2sin C-sin B)cos A,所以sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A,sin(A+B)=2sin Ccos A,即sin C=2sin Ccos A,又sin C≠0,所以cos A=,sin A=
1
2
3
.设外接圆的半径为r,则r=1,由余弦2
b2+c2-a222222
定理得bc==b+c-a=b+c-(2rsin A)2=b2+c2-3≥2bc-3(当且仅当b=c2cos A1333
时,等号成立),所以bc≤3,所以S△ABC=bcsin A=bc≤. 244
(2)由sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C及正弦定理,可知acos B+bcos A=c,则由(a+b-c)(acos B+bcos A)=abc,得a+b-c=ab,由余弦定理可得cos C1π2π
=,则C=,B=-A, 233
由正弦定理==,得=
sin Asin Bsin Csin A2
2
2
2
2
2
abca=,又a+b=2,所以
2ππ??sin?-A?sin
3?3?
bccsin A3
2
csin?
+
?2π-A?
?
?3?
32
=2,即c=
1?2π?=,因为A∈?0,?,
3???2π??π?sin A+sin?-A?sin?A+?6??3??
3
π?π5π??π??1?所以A+∈?,?,sin?A+?∈?,1?,则c∈[1,2).
6?6??2?6?6?
33
【答案】 (1) (2)[1,2)
4
解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法:一是利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所
求式的范围.
命题角度三 正、余弦定理与实际问题的综合
某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高
度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为( )
A.210(6+2)米 C.2102米
B.1406米 D.20(6-2)米
2
【解析】 由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米,在△ABC内,由余弦定理得BC=BA+CA-2BA·CA·cos∠BAC,
即(x-40)=x+10 000-100x,解得x=420米.
在△ACH中,AC=420米,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°, 由正弦定理:=,
sin∠CAHsin∠AHCsin∠CAH可得CH=AC·=1406(米).
sin∠AHC【答案】 B
2
2
2
2
CHAC(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
[对点训练]
1.(2018·合肥第一次质量检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a-2b)cos C+ccos A=0.
(1)求角C;
(2)若c=23,求△ABC周长的最大值.
解:(1)根据正弦定理,由已知得(sin A-2sin B)cos C+sin Ccos A=0,
即sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos C, 所以sin(A+C)=2sin Bcos C, 因为A+C=π-B,
所以sin(A+C)=sin(π-B)=sin B>0, 1
所以sin B=2sin Bcos C,所以cos C=. 2因为C∈(0,π),所以C=
π. 3
a2+b2-c21
(2)由(1)及余弦定理得cos C==,
2ab2
又c=23,所以a+b-12=ab,
2
2
?a+b?,
所以(a+b)-12=3ab≤3??
?2?
2
2
即(a+b)≤48(当且仅当a=b=23时等号成立). 所以a+b≤43,a+b+c≤63. 所以△ABC周长的最大值为63.
2.(2018·武汉调研)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足cos
2
?π??π?2A-cos 2B+2cos?-B?·cos?+B?=0. ?6??6?
(1)求角A的值;
(2)若b=3且b≤a,求a的取值范围. 解:(1)由cos 2A-cos 2B+2cos?
?π-B?cos?π+B?=0,得2sin2B-2sin2A+
??6??6???
3π?3212?2?cosB-sinB?=0,化简得sin A=,又△ABC为锐角三角形,故A=.
423?4?
ππππ13(2)因为b=3≤a,所以c≥a,所以≤C<,
3263223
2aba3
由正弦定理=,得=,所以a=,
sin Asin Bsin Bsin B3
2
3??1
由sin B∈?,?得a∈[3,3).
?22?
[A组 夯基保分专练]
一、选择题
1.(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2cosx-sinx+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
33352222
解析:选B.易知f(x)=2cosx-sinx+2=3cosx+1=(2cosx-1)++1=cos 2x+,
2222则f(x)的最小正周期为π,当x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,最大值为4.
1
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin
2
22
C,则sin B为( )
A.
7
47 3
3B. 41D. 3
C.
1
解析:选A.由bsin B-asin A=asin C,
2且c=2a, 得b=2a,
a2+c2-b2a2+4a2-2a23
因为cos B===, 2
2ac4a4
所以sin B= 7?3?1-??=.
4?4?
2
3.(2018·洛阳第一次统考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a,b,
cc成等比数列,且a2=c2+ac-bc,则=( )
bsin BA.3 23 3
2
B.
23
3
C.D.3
2
2
2
解析:选B.由a,b,c成等比数列得b=ac,则有a=c+b-bc,由余弦定理得cos Ab2+c2-a2bc1π322
===,故A=,对于b=ac,由正弦定理得,sin B=sin Asin C=·sin
2bc2bc232csin Csin C23C,由正弦定理得,=2==.故选B.
bsin Bsin B33
sin C2
4.(2018·昆明模拟)在△ABC中,已知AB=2,AC=5,tan∠BAC=-3,则BC边