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课时作业(六) 平面向量

1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，解得m＝－6，则m＝－6时，a＝(－1,2)，a＋b＝(2，－4)，所以a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A. 答案：A →→→m2．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若CD＝mBA＋nBC(m，n∈R)，则＝( ) n1A．－3 B．－ 31C. D．3 3→→→→→解析：过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以mBA＋nBC＝CD＝EA＝EB→2→→1→→m1＋BA＝－BC＋BA＝－BC＋BA，所以＝＝－3. 63n1－3答案：A 3．(2017·湖南湘中名校联考)已知向量a＝(x，3)，b＝(x，－3)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝( ) A．1 B.2 C.3 D．2 解析：因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即(3x，3)·(x，－3)＝3x－3＝0，解得x＝±1，所以a＝(±1，3)，|a|＝答案：D 4．(2017·安徽省两校阶段性测试)已知向量a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝( ) ±122＋32＝2，故选D. 鼎尚出品

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A．1 B.6 2C.2 D．4 解析：∵a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝(0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，∴|2m|＝2，∴m＝±1，∴|a|＝m＋1＝2.故选C. 答案：C →→→→5．已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝( ) A.C.ππ B. 36ππ D. 41222→→→→→解析：法一 OA＋OB是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD，OA－OB是→→→对角线向量BA，由已知可得，对角线相等，则平行四边形OADB为矩形．故OA⊥OB.因此OA·OBπ＝0，所以sinθ－cosθ＝0，所以锐角θ＝. 4→→→→→→法二 OA＋OB＝(sinθ－1，cosθ＋1)，OA－OB＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由|OA＋OB→→2222|＝|OA－OB|可得(sinθ－1)＋(cosθ＋1)＝(－sinθ－1)＋(cosθ－1)，整理得sinθπ＝cosθ，于是锐角θ＝. 4答案：C →→6．在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则CD·CB＝( ) 99A．－ B. 44C.2727 D．－ 44→→→→→→→→→→→→3→→解析：依题意得|CD|＝，CD·AB＝0，CD·CB＝CD·(CA＋AB)＝CD·CA＋CD·AB＝CD·CA2→→319＝|CA|·|CD|·cos60°＝3××＝，故选B. 224答案：B π7．(2017·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为，则|a|＝1，|b|3鼎尚出品

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1＝，则a＋2b与b的夹角是( ) 2A.C.π5π B. 66π3π D. 441π222解析：法一 因为|a＋2b|＝|a|＋4|b|＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a231π11132＋2b|＝3，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|＝1××cos＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2344242b，b〉＝a＋2b·b＝|a＋2b||b|3413×2＝3π，所以a＋2b与b的夹角为.故选A. 263??1π1π??1法二 设a＝(1,0)，b＝?cos，sin?＝?，?，则(a＋2b)·b＝323??2?44?3??13?3?3?，?·?，?＝4，|a＋2b|＝?22??44??3?2＋?3?2＝3，所以cos〈a＋2b，b〉＝?2??????2?a＋2b·b＝|a＋2b||b|答案：A 3π＝，所以a＋2b与b的夹角为，故选A. 1263×234→8．(2017·惠州市第三次调研考试)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－→→→→OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 →→→→→→→→→→→→解析：(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即CB·(AB＋AC)＝0，∵AB－AC＝CB，∴(AB－→→→→→AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形，故选A. 答案：A 9．(2017·湖南省五市十校联考)△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足AB→＝2a，AC＝2a＋b，则向量a，b的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 鼎尚出品