高中数学排列组合问题常用的解题方法

一、相邻问题捆绑法

题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．

例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有 种。

分析：把甲、乙视为一人.并且乙固定在甲的右边.则本题相当于4人的全排

4?24种。 列.A4二、相离问题插空法

元素相离(即不相邻)问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．

例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是 。

52 分析：除甲乙外.其余5个排列数为A5种.再用甲乙去插6个空位有A6种.不同的排52A6?3600种。 法种数是A5三、定序问题缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．

例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻).那么不同的排法种数有 。

分析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同.所以题设的排法只是5个元素全排列数

15的一半.即A5?60种。

2四、标号排位问题分步法

把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．

例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。

分析：先把1填入方格中.符合条件的有3种方法.第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格.又有三种方法；第三步填余下的两个数字.只有一种填法.共有3×3×1=9种填法。

五、有序分配问题逐分法

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。

例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有 。

分析：先从10人中选出2人承担甲项任务.再从剩下的8人中选1人承担乙项任务.

211C8C7?2520种。 第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务.不同的选法共有C10六、多元问题分类法

元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。

例6：由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有 个。

. .

5分析：按题意.个位数字只可能是0.1.2.3.4共5种情况.分别有A511311311313A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个.合并总计300个。 个.A4例7：从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？

分析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时.他们的乘积就能被7整除.将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A??7,14,21,被7整除的数组成的集合记做A??1,2,3,4,98?共有14个元素,不能

,100?共有86个元素；由此可知.从A中任取2

112C86个元素的取法有C14.从A中任取一个.又从A中任取一个共有C14.两种情形共符合要求的211?C14C86?1295种。 取法有C14例8：从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法(不计顺序)

有多少种？

分析：将I??1,2,3,100?分成四个不相交的子集.能被4整除的数集A??4,8,12,100?；

97?.能被4除余2的数集C??2,6,,98?.能被4除余3的

能被4除余1的数集B??1,5,9,数集D??3,7,11,99?.易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；

从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要

2112?C25C25?C25求；所以符合要求的取法共有C25种。

七、交叉问题集合法

某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式

n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B)。

例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法？

分析：设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝.A＝｛甲第一棒的排列｝. B＝｛乙跑第四棒的排列｝.根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(种)．

八、定位问题优先法

某个(或几个)元素要排在指定位置.可先排这个(几个)元素.再排其他元素。 例10：1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念.若老师不在两端.则有不同的排法有_______ _种。

14分析：老师在中间三个位置上选一个有A3种.4名同学在其余4个位置上有A4种方法；14A4?72种。 所以共有A3

. .

九、多排问题单排法

把元素排成几排的问题.可归结为一排考虑.再分段处理。

例11：6个不同的元素排成前后两排.每排3个元素.那么不同的排法种数是 。

分析：前后两排可看成一排的两段.因此本题可看成6个不同的元素排成一排.共

6A6?720种。

例12：8个不同的元素排成前后两排.每排4个元素.其中某2个元素要排在前排.某 1个元素要排在后排.有多少种排法？

2分析：看成一排.某2个元素在前半段四个位置中选排2个.有A4种.某1个元素排在后15半段的四个位置中选一个有A4种.其余5个元素任排5个位置上有A5种.故共有125A4A4A5?5760种排法。

十、“至少”问题间接法

关于“至少”类型组合问题.用间接法较方便。

例13：从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台.其中至少要甲型和乙型电视机各一台.则不同取法共有 种。

分析1：逆向思考.至少各一台的反面就是分别只取一种型号.不取另一种型号的电视机.

333?C4?C5?70种。 故不同的取法共有C9分析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台

112?C5C4?70种。 乙型1台；故不同的取法有C52C4十一、选排问题先取后排法

从几类元素中取出符合题意的几个元素.再安排到一定位置上.可用先取后排法。 例14：四个不同的球放入编号为1.2.3.4的四个盒中.则恰有一个空盒的放法共有_____ ___种

2分析：先取四个球中二个为一组.另二组各一个球的方法有C4种.再排：在四个盒中每次33?144种。 排3个有A4种.故共有C42A4例15：9名乒乓球运动员.其中男5名.女4名.现在要进行混合双打训练.有多少种不

同分组法？

2分析：先取男女运动员各2名.有C52C42种.这四名运动员混和双打练习有A2中排法.故共22A2?120种。 有C52C4十二、部分合条件问题排除法

在选取总数中.只有一部分合条件.可从总数中减去不合条件数.即为所求。 例16：以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。

分析：正方体8个顶点从中每次取四点.理论上可构成C84四面体.但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体.所以四面体实际共有C84?12?58个。

. .

例17：四面体的顶点和各棱中点共10点.在其中取4个不共面的点.不同的取法共 有 种。

4分析：10个点中任取4个点共有C10种.其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个44面上.每面内四点共面的情况为C6.四个面共有4C6个；②过空间四边形各边中点的平行四边

形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个；所以四点不共面的情况的种数是

4C10?4C64?3?6?141种。

十三、复杂排列组合问题构造模型法

例18：马路上有编号为1.2.3…9九只路灯.现要关掉其中的三盏.但不能关掉相邻的二盏或三盏.也不能关掉两端的两盏.求满足条件的关灯方案有多少种？

3分析：把此问题当作一个排对模型.在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方

法。所以满足条件的关灯方案有10种。 十四、利用对应思想转化法

例19：圆周上有10点.以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ 分析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点.一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点.于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同

44的四边形.显然有C10个.所以圆周上有10点.以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有C10个。

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