【答案】D

【解析】由题可知，

，令

，则，可知

不正确，由，

，即可得

，在区间

，即

内单调递增，

由

，正确，故选D.

【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知函数【答案】 【解析】因为函数函数14. 过_______. 【答案】【解析】点

关于轴的对称点为

，则直线

的方程为到直线

，即的距离，故答案为

与平面

. 所成，因

，

，则其最小正周期为

两点的光线经轴反射后所在直线与圆

，故答案为.

存在公共点，则实数的取值范围为

，

，则其最小正周期为_______.

为反射后所在直线与圆

，即

15. 如图，将正方形的二面角为

，

存在公共点，所以圆心

，解得

沿着边

，故实数的取值范围是

抬起到一定位置得到正方形内一条直线，则直线

与

，并使得平面

为正方形所成角的取值范围为_______.

【答案】

，垂足为，由在平面

内的射影为

，得，易知，而直线

与平面，则

，故与平面

，

【解析】不妨设正方形的边长为，作又所成的角为

（当为

与.

，为

的中点，且

重合时，，得

平面

，故直线与平面与

内的直线所成的最小角为

），所以直线

与

所成角的最大角为

，故答案

所成角为的所成角的取值范闱为

16. 已知菱形【答案】12 【解析】设

，则菱形面积的最大值为_______.

，则，

，设

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

，在

中，由余弦定理可知

，即，

即，

，令

时，即

时，

有最大值，故答案为.

，则，则，当

【方法点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及最值问题，属于难题.求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.本题(2)求值域时主要应用方法①求解的.

三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知数列（1）求数列（2）求数列

的前项和的通项公式；

的前项和.

. 时，

；当

时，

时，

，当

时，

，对

不

.

【答案】(1)见解析;(2)【解析】试题分析：（1）当成立，从而可得数列

的通项公式；（2）当

，利用裂项相消法可得

试题解析：（1）当当对

时，不成立，

的通项公式为时，

，

又所以

时，

符合上式， （

）.

.

时，

；

，

，再验证时，是否成立即可.

所以数列（2）当当所以

时，

【方法点晴】本题主要考查数列的通项公式与求和，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)

；（4）

；（2）

； （3）

；此外，需注意裂项之

后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误...................... 18. 如图所示，已知三棱锥点.

中，底面

是等边三角形，且

，

分别是

的中

（1）证明：（2）若

平面，求二面角

；

的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2). 【解析】试题分析：（1）连接

，因为是

的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质可得

与

垂直，再以

，从而利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）先根据勾股定理证明

为轴建立空间直角坐标系，平面

程组求出平面

的一个法向量为

，利用向量垂直数量积为零，列方

的余弦值.

的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可求得二面角

，因为

，底面

等边三角形，

试题解析：(1)连接又因为是所以又因为所以

平面

的中点，

， .

， ，

的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

（2）因为由（1）可知而

，所以

以为原点，以

则由题得平面设平面所以令所以所以

得

，，的一个法向量为

，， .

的一个法向量为

，即

，

为锐角，

由题意知二面角所以二面角

的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体

几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

19. 伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表：

（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的“使用手机支付”与人的年龄有关；

列联表，并判断是否有

的把握认为

（2）若从年龄在机支付”的人数为.

，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手

①求随机变量的分布列； ②求随机变量的数学期望. 参考数据如下：

参考格式：

，其中

0.05 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 【答案】(1)见解析;(2)①见解析.②见解析. 【解析】试题分析：（1）根据表格中数据可完成

列联表，利用公式：

求得

，

与邻界值比较，即可得到结论；（2）①选中的人中“使用手机支付”的人数为的可能取值为利用组

合知识，根据古典概型概率公式公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列；②由①利用期望公式可得的数学期望. 试题解析：（1）

列联表如下：