2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评:2.3 参数方程化为普通方程 Word版含答案 下载本文

普通方程化为参数方程时,①选取参数后,要特别注意参数的取值范围,它将决定参数方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同,得到的参数方程是?x=tanθ,不同的.如本例(2),若令x=tanθ(θ为参数),则参数方程为?2

?y=tanθ+tanθ-1(θ为参数).

【跟踪训练2】 求方程4x2+y2=16的参数方程: (1)设y=4sinθ,θ为参数;

(2)若令y=t(t为参数),如何求曲线的参数方程?若令x=2t(t为参数),如何求曲线的参数方程?

解 (1)把y=4sinθ代入方程,得到4x2+16sin2θ=16,于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ,

∴x=±2cosθ.

∴4x2+y2=16的参数方程是

?x=2cosθ,?x=-2cosθ,?和?(θ为参数). ?y=4sinθ?y=4sinθ

(2)将y=t代入椭圆方程4x2+y2=16,得4x2+t2=16, 16-t216-t2则x=4.∴x=±2.

2

因此,椭圆4x2+y2=16的参数方程是

216-t?x=,2?

?y=t

216-t?x=-

2,和?

?y=t

(t为参数).

?x=2t,

同理将x=2t代入椭圆4x+y=16,得椭圆的参数方程为? 和2y=41-t?

2

2

?x=2t,

?(t为参数). 2?y=-41-t

探究3 参数方程的应用

?x=2cosβ,

例3 已知动点P,Q都在曲线C:?(β为参数)上,对应参数分

y=2sinβ?别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.

(1)求M的轨迹的参数方程;

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.

解 (1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,?x=cosα+cos2α,

sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为?(α为参数,0<α<2π).

?y=sinα+sin2α

(2)M点到坐标顶点的距离

d=x2+y2=2+2cosα(0<α<2π).

当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.

(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键. (2)将所求的问题用恰当的参数表示,是解决此类问题的转折点.

?x=-4+cost,

【跟踪训练3】 已知曲线C1:?(t为参数),C2:

?y=3+sint?x=8cosθ,?(θ为参数). y=3sinθ?

(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; π

(2)若C1上的点P对应的参数为t=2,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:x-2y-7=0距离的最小值.

x2y2

解 (1)C1:(x+4)+(y-3)=1,C2:64+9=1.

2

2

C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.

C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. π

(2)当t=2时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),

3??

故M?-2+4cosθ,2+2sinθ?.

??

5

M到直线C3的距离d=5|4cosθ-3sinθ-13| 4?5?

φ为锐角且tanφ=?=5|5sin(φ-θ)-13|. 3???85

从而当sin(φ-θ)=1时,d取得最小值5.

1.参数方程和普通方程的互化

参数方程化为普通方程,可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数,通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.

由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数,寻求曲线上任一点M的坐标x,y和参数的关系,根据实际问题的要求,我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.

2.同一道题参数的选择往往不是唯一的,适当地选择参数,可以简化解题的过程,降低计算量,提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同,求轨迹方程只需求出方程即可,而求轨迹往往是先求出轨迹方程,然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.

?x=sin2θ,

1.下列在曲线?(θ为参数)上的点是( )

?y=cosθ+sinθ?1??31?A.?2,-2? B.?-4,2?

????C.(2,3) D.(1,3) 答案 B

解析 化为普通方程:y2=1+x(-1≤x≤1), 31当x=-4时,y=±2.

2

?x=t+2t+3,

2.曲线C的方程为?(t∈R),则曲线C的图象在( ) 2

?y=t+4t+5

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A

解析 本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可,不需要知道图象形状,故只需就其方程来判定各点的横、纵坐标的符号即可.x=(t+1)2+2≥2,y=(t+2)2+1≥1,从而易知该曲线位于第一象限.

?x=rcosφ,3.设r>0,那么直线xcosθ+ysinθ=r与圆?(φ是参数)的位置关

?y=rsinφ系是( )

A.相交 B.相切

C.相离 D.视r的大小而定 答案 B

解析 化圆的参数方程为x2+y2=r2.圆心为(0,0),它到直线xcosθ+ysinθ=r的距离为

|-r|22=r. cosθ+sinθ

∴直线与圆相切.

?x=cosθ,

4.若直线y=x+b与曲线?

?y=sinθ

(

ππ?-≤θ≤θ为参数,且有两个不22??

同的交点,则实数b的取值范围是________.

答案 (-2,-1] ?x=cosθ,

解析 曲线?

?y=sinθ

ππ??

?θ为参数,且-2≤θ≤2?表示圆x2+y2=??

1(0≤x≤1,-1≤y≤1)的右半部分, 结合图形易得直线y=x+b与该曲线有两个不同的交点时,b的范围是-2

5.指出下列参数方程表示什么曲线. ?x=3cosθ,

(1)?(0≤θ≤π);

y=3sinθ??x=2cost,(2)?(π≤t≤2π).

y=3sint?