普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是?x＝tanθ，不同的．如本例(2)，若令x＝tanθ(θ为参数)，则参数方程为?2
?y＝tanθ＋tanθ－1(θ为参数)．
【跟踪训练2】 求方程4x2＋y2＝16的参数方程： (1)设y＝4sinθ，θ为参数；
(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？
解 (1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，
∴x＝±2cosθ．
∴4x2＋y2＝16的参数方程是
?x＝2cosθ，?x＝－2cosθ，?和?(θ为参数)． ?y＝4sinθ?y＝4sinθ
(2)将y＝t代入椭圆方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16， 16－t216－t2则x＝4．∴x＝±2．
2
因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是
216－t?x＝，2?
?y＝t
216－t?x＝－
2，和?
?y＝t
(t为参数)．
?x＝2t，
同理将x＝2t代入椭圆4x＋y＝16，得椭圆的参数方程为? 和2y＝41－t?
2
2
?x＝2t，
?(t为参数)． 2?y＝－41－t
探究3 参数方程的应用
?x＝2cosβ，
例3 已知动点P，Q都在曲线C：?(β为参数)上，对应参数分
y＝2sinβ?别为β＝α与β＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解 (1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，?x＝cosα＋cos2α，
sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为?(α为参数，0<α<2π)．
?y＝sinα＋sin2α
(2)M点到坐标顶点的距离
d＝x2＋y2＝2＋2cosα(0<α<2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键． (2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题的转折点．
?x＝－4＋cost，
【跟踪训练3】 已知曲线C1：?(t为参数)，C2：
?y＝3＋sint?x＝8cosθ，?(θ为参数)． y＝3sinθ?
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； π
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值．
x2y2
解 (1)C1：(x＋4)＋(y－3)＝1，C2：64＋9＝1．
2
2
C1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． π
(2)当t＝2时，P(－4，4)，Q(8cosθ，3sinθ)，
3??
故M?－2＋4cosθ，2＋2sinθ?．
??
5
M到直线C3的距离d＝5|4cosθ－3sinθ－13| 4?5?
φ为锐角且tanφ＝?＝5|5sin(φ－θ)－13|． 3???85
从而当sin(φ－θ)＝1时，d取得最小值5．
1．参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．
2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．
?x＝sin2θ，
1．下列在曲线?(θ为参数)上的点是( )
?y＝cosθ＋sinθ?1??31?A．?2，－2? B．?－4，2?
????C．(2，3) D．(1，3) 答案 B
解析 化为普通方程：y2＝1＋x(－1≤x≤1)， 31当x＝－4时，y＝±2．
2
?x＝t＋2t＋3，
2．曲线C的方程为?(t∈R)，则曲线C的图象在( ) 2
?y＝t＋4t＋5
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 A
解析 本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可，不需要知道图象形状，故只需就其方程来判定各点的横、纵坐标的符号即可．x＝(t＋1)2＋2≥2，y＝(t＋2)2＋1≥1，从而易知该曲线位于第一象限．
?x＝rcosφ，3．设r>0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝r与圆?(φ是参数)的位置关
?y＝rsinφ系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定 答案 B
解析 化圆的参数方程为x2＋y2＝r2．圆心为(0，0)，它到直线xcosθ＋ysinθ＝r的距离为
|－r|22＝r． cosθ＋sinθ
∴直线与圆相切．
?x＝cosθ，
4．若直线y＝x＋b与曲线?
?y＝sinθ
(
ππ?－≤θ≤θ为参数，且有两个不22??
同的交点，则实数b的取值范围是________．
答案 (－2，－1] ?x＝cosθ，
解析 曲线?
?y＝sinθ
ππ??
?θ为参数，且－2≤θ≤2?表示圆x2＋y2＝??
1(0≤x≤1，－1≤y≤1)的右半部分， 结合图形易得直线y＝x＋b与该曲线有两个不同的交点时，b的范围是－2 5．指出下列参数方程表示什么曲线． ?x＝3cosθ， (1)?(0≤θ≤π)； y＝3sinθ??x＝2cost，(2)?(π≤t≤2π)． y＝3sint?