的投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用?n表示。

弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经常使用的应力分解形式。

由于微分面法线 n 的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力?n 的方向。但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力?n不仅需要确定截面方位，还必须指明方向。 3、应力分量

为了表达弹性体内部任意一点M 的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截取一个平行六面体单元，如图所示。

将六面体单元各个截面上的应力矢量分别向3个坐标轴投影，可以得到应力分量?ij。

应力分量的第一脚标 i 表示该应力所在微分面的方向，即微分面外法线的方向；

第二脚标 j 表示应力的方向。如果应力分量与 j 坐标轴方向一致为正，反之为负。

如果两个脚标相同，i＝j，则应力分量方向与作用平面法线方向一致，这是正应力，可以并写为一个脚标，例如?x。

如果两脚标不同，i≠j，则应力分量方向与作用平面法线方向不同，这是切应力，例如?xy。

六面体单元的3对截面共有九个应力分量?ij。

应该注意：应力分量是应力矢量在坐标轴上的投影，因此是标量，而不是矢量。

在已知的坐标系中应力状态通常用应力张量

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表示。使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态。 §2.3

斜截面上的应力 应力矢量与应力分量

学习思路:

应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且也由于截面的法线方向n的方向改变而变化，研究这一变化规律称为应力状态分析。如果应力分量能够描述一点的应力状态，那么应力分量与其它应力参数必然有内在联系。

本节分析应力矢量与应力分量之间的关系，为深入讨论应力状态作准备。 利用三个坐标平面和一个任意斜截面构造微分四面体单元，通过四面体单元探讨坐标平面的应力分量和斜截面上的应力矢量的关系。

根据平衡关系，推导任意斜截面的应力矢量、法线方向余弦和各个应力分量之间的关系。

分析表明：一点的应力分量确定后，任意斜截面的应力矢量是确定的。 学习要点：

1、分四面体单元；2、应力矢量与应力分量。

1、微分四面体单元

一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态，则其必须能够表达通过该点的任意斜截面上的应力矢量。

为了说明这一问题，在O点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元，如图所示。

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斜截面的法线方向矢量为n，它的三个方向余弦分别为l，m和n。 设斜截面上的应力为pn，i，j 和 k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量，pn在坐标轴上的投影分别为px, py, pz。则应力矢量可以表示为

pn = pxi+ py j+ pz k

同样，把单位体积的质量所受的体积力Fb沿坐标轴分解，有

Fb = Fbxi+ Fby j+ Fbz k

设S为ΔABC的面积，则

ΔOBC=lS, ΔOCA=mS, ΔOAB=nS

ΔABC的法线方向的单位矢量可表示为

n = l i+ l j + m k

2、应力矢量与应力分量

微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件，设h为O点至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得

将公式 代入上式，则

对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，因此与1相比为小量，趋近于零，因此

同理

如果采用张量记号，则上述公式可以表示为

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上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系。这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面的应力矢量，或者正应力和切应力。因此应力分量可以确定一点的应力状态。 §2.4

平衡微分方程

学习思路:

物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置。平衡不仅是指整个物体，而且弹性体的任何部分也是平衡的。

本节通过微分平行六面体单元讨论弹性体内部任意一点的平衡。

应该注意：在讨论微分单元体平衡时，考虑到坐标的微小变化将导致应力分量的相应改变。即坐标有增量时，应力分量也有对应的增量。这个增量作为高阶 小量，如果不涉及微分单元体平衡时是可以不考虑的。

微分平衡方程描述了弹性体内部任意一点的平衡，确定了应力分量与体力之间的关系。又称为纳维（Navier）方程。

平衡微分方程描述弹性体内部应力分量与体力之间的微分关系，是弹性力学的第一个基本方程。

切应力互等定理是弹性体力矩平衡的结果。 学习要点：

1、微分单元体及平衡关系； 2、平衡微分方程与切应力互等定理。 1、微分单元体及平衡关系

物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置。不仅整个物体是平衡的，而且弹性体的任何部分也都是平衡的。

为了考察弹性体内部的平衡，通过微分平行六面体单元讨论任意一点M 的平衡。在物体内，通过任意点M，用三组与坐标轴平行的平面截取一正六面体单元，单元的棱边分别与x，y，z轴平行，棱边分别长dx，dy，dz，如图所示

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讨论微分平行六面体单元的平衡：

在x面上有应力分量?x，?xy和 ?xz；在x+dx面上，应力分量相对x 截面有一个增量，取一阶增量，则

对y，z方向的应力分量作同样处理。

根据微分单元体x方向平衡，∑Fx=0，则

简化并且略去高阶小量，可得

同理考虑y，z方向，有

上述公式给出了应力和体力之间的平衡关系，称为平衡微分方程，又叫纳维（Navier）方程。

用张量形式表示，可以写作

如果考虑微分单元体的力矩平衡， 则可以得到

??xy =??yx， ? yz=?zy， ?zx=?xz

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