由此可见，切应力是成对出现的，9个应力分量中仅有6个是独立的。 上述关系式又称作切应力互等定理。用张量形式表示，则

?ij = ?ji §2.5

面力边界条件

学习思路:

在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，以维持弹性体表面的平衡。

面力边界条件的推导时，参考了应力矢量与应力分量关系表达式。只要注意到物体边界任意一点的微分四面体单元表面作用应力分量和面力之间的关系就可以得到。

面力边界条件描述弹性体表面的平衡，而平衡微分方程描述物体内部的平衡。当然，对于弹性体，这仅是静力学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。

面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。 学习要点：

1、面力边界条件。

1、面力边界条件

物体在外力作用下处于平衡状态，不仅整体，而且任意部分都是平衡的。在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量须与表面力满足面力边界条件，以满足弹性体表面的平衡。

考虑物体表面任一微分四面体的平衡，如图所示。

11

由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用，设单位面积上的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz ，物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n。参考应力矢量与应力分量的关系，可得

用张量符号可以表示为

上述公式是弹性体表面微分单元体保持平衡的必要条件，公式左边表示物体表面的外力，右边是弹性体内部趋近于边界的应力分量。公式给出了应力分量与面力之间的关系，称为静力边界条件或面力边界条件。

平衡微分方程和面力边界条件都是平衡条件的表达形式，前者表示物体内部的平衡，后者表示物体边界部分的平衡。

显然，若已知应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，则物体平衡；反之，如物体平衡，则应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。 §2.5

坐标变换的应力分量和应力张量

学习思路:

一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。

本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。

应力分量的转轴公式说明：应力分量满足张量变换条件。 根据切应力互等定理，应力张量是二阶对称张量。

转轴公式说明了一点的应力状态，尽管截面方位的变化导致应力分量改变，但是一点的应力状态是不变的。 学习要点：

12

1、坐标系的变换；2、坐标平面的应力矢量；3、应力分量的投影；4、应力分量转轴公式；5、平面问题的转轴公式。 1、坐标系的变换

一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。一点的应力随着截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。

应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。由于应力分量可以描述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应力状态。

当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。

容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。

假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为

如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Ox'y'z'。设新坐标系与原坐标系之间有如下关系：

其中，li，mi，ni表示新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。 2、坐标平面的应力矢量 如果用

表示同一点在新坐标系下的应力分量。

13

作斜截面ABC与 x' 轴垂直，其应力矢量为pn，则

根据应力矢量与应力分量的表达式

3、应力分量的投影

设i'，j'，k' 为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴方向的单位矢量，如图所示 将 pn ，即px'向x' 轴投影就得到??x'；

向y' 轴投影就得到??x'y'； 向z' 轴投影就得到?x'z'；

所以

14

4、应力分量转轴公式

将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑 y，z方向，则可以得到转轴公式

注意到，?x'y' =?y'x' , ?y'z' =?z'y' , ?x'z' =?z'x'。

用张量形式描述，则上述公式可以写作

应力变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律。坐标轴旋转后，应力分量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力状态是不会发生变化的。

应力张量为二阶对称张量，仅有六个独立分量。新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点 的应力状态。

5、平面问题的转轴公式

对于平面问题，如Ox 轴与Ox' 成

15

?角。则新旧坐标系