有如下关系：

根据转轴公式，可得

上述公式即材料力学中常用的应力变换公式。

应该注意的问题是：材料力学是根据变形效应定义应力分量的，而弹性力学是根据坐标轴定义应力分量的符号的。因此对于正应力二者符号定义结果没有差别，但是对于切应力符号定义是不同的。例如对于两个相互垂直的微分面上的切应力，根据弹性力学定义，符号是相同的，而根据材料力学定义，符号是相反的。 §2.7

主应力和应力不变量

学习思路:

应力状态的确定，不仅需要描述一点各个截面的应力变化规律，而且需要确定最大正应力和切应力，以及作用平面方位。

本节讨论应力状态的的重要概念－主平面和主应力。主平面是指切应力为零的平面；主平面法线方向称为应力主轴；主平面的正应力称为主应力。主平面和主应力是描述一点应力状态的重要参数，关系弹性体的强度。

根据主应力和应力主轴的定义，可以建立其求解方程－应力状态特征方程。 对于应力主轴，在主应力求解后，再次应用齐次方程组和方向余弦特性可以得到。

主应力特征方程的系数具有不变性、实数性和正交性。因此称为应力不变量。 学习要点：

1、主平面与主应力；2、l，m，n的齐次线性方程组；3、应力状态特征方程；4、主应力性质；5、正交性证明。

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1、主平面与主应力

应力状态的确定，不仅需要描述一点各个截面的应力变化规律，而且需要确定最大正应力和切应力，以及作用平面方位。

物体内一点的应力分量是随坐标系的旋转而改变的，那么，对于这个确定点，是否可以找到这样一个坐标系，在这个坐标系下，该点只有正应力分量，而切应力分量为零。也就是说：对于物体内某点，是否能找到三个相互垂直的微分面，面上只有正应力而没有切应力。答案是肯定的，对于任何应力状态，至少有三个相互垂直平面的切应力为零。

切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向。 主平面上的正应力称为主应力。

根据主应力和应力主轴的定义，可以建立其求解方程。 设过点O与坐标轴倾斜的微分面ABC为主微分面，如图所示

其法线方向n，既应力主轴的三个方向余弦分别为l，m，n，微分面上的应力矢量 pn，即主应力的三个分量为px, py, pz。

根据主平面的定义，应力矢量 pn的方向应与法线方向n一致，设应力，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为

px =??l, py =??m, pz =??n

2、l，m，n的齐次线性方程组

同时，根据应力矢量与应力分量表达式，有

为主

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将上述公式联立求解，可以得到

上述公式是一个关于主平面方向余弦 l，m，n 的齐次线性方程组。

求解关于l，m，n的齐次线性方程组。这个方程组具有非零解的条件为系数行列式等于零。即

3、应力状态特征方程

展开上述行列式,可得

以上方程称为应力状态特征方程，是确定弹性体中任意一点主应力的方程。 其中， ， 为应力张量元素构成的行列式 主对角线元素之和。

是 行列式按主对角线展

开的三个代数主子式之和。

是行列式 的值。

由于一点的主应力和应力主轴方向取决于物体所受载荷和约束条件等，而与坐标轴的选取无关。因此特征方程的根是确定的，即I1, I2, I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。因此I1, I2, I3 分别称为应力张量的第一，第二和第三不变量。

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应当指出，所谓不变量是指同一点的应力张量而言的，它们与坐标轴的选取无关。对于不同点，应力状态不同，这些量当然是要变化的 4、主应力性质

可以证明，特征方程有三个实数根，如用??1，???2，??3? 分别表示这三个根，则它们代表某点的三个主应力。

对于应力主轴方向的确定，可以将计算所得的??1，???2，??3分别代入齐次方程组的任意两式，并且利用关系式

联立求解，则可以求得应力主方向。

应力不变量具有以下性质： 1、不变性：

由于一点的正应力和应力主轴方向取决于弹性体所受的外力和约束条件，而与坐标系的选取无关。因此对于任意一个确定点，特征方程的三个根是确定的，因此I1，I2，I3的值均与坐标轴的选取无关。坐标系的改变导致应力张量的各个分量变化，但该点的应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。

2、实数性：

特征方程的三个根，就是一点的三个主应力，根据三次方程根的性质，容易证明三个根均为实根，所以一点的三个主应力均为实数。

3、正交性：

任一点的应力主方向，即三个应力主轴是正交的。下面证明主应力的正交性： a、若??1≠? 2≠??3，则特征方程无重根，因此，应力主轴必然相互垂直； b、若??1＝??2≠??3，则特征方程有两重根，??1?和??2的方向必然垂直于? 3的方向。而??1?和??2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；

c、若??1＝? 2＝??3，则特征方程有三重根，三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直。这就是说，任何方向都是应力主轴。 5、正交性证明

证明应力不变量的正交性。

假设主应力??1＝? 2＝??3的方向余弦分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），由于满足齐次方程组，有

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将上述公式的前三式分别乘以 l2，m2和n2 ，中间三式分别乘以-l1，-m1，-n1，然后将六式相加，可得

同理

根据上述关系式，如果??1≠??2≠??3，有

l1l2+m1m2+n1n2＝0， l2l3+m2m3+n2n3 ＝0， l1l3+m1m3+n1n3＝0

上式说明如果三个主应力均不相等，则三个应力主方向是相互垂直的。

如果??1＝??2≠??3，有

l2l3+m2m3+n2n3 ＝0， l1l3+m1m3+n1n3 ＝0

而l1l2+m1m2+n1n2可以等于零，也可以不等于零。

这说明??3的方向同时与??1和??2的方向垂直，而??1和??2的方向可以垂直，也可以不垂直。因此所有与??3垂直的方向都是??1和??2的应力主方向。

如果??1＝??2＝??3，则 l1l2+m1m2+n1n2， l2l3+m2m3+n2n3 和 l1l3+m1m3+n1n3均可以等于零，也可以不等于零。也就是说任何方向都是应力主方向。

由此证明应力不变量的正交性。 §2.8

应力圆和最大切应力

学习思路:

应力状态的确定，还需要讨论一点的正应力和切应力之间的变化关系。

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