3-8 一长为2L的均匀薄窄平板，一端靠在摩擦略去不计的垂直墙壁上，另一端放在摩擦亦略去不计的水平地板上。开始时，木板静止并与地板成角?0，当松开木板后，木板下滑，试求木板脱离墙壁时，木板与地面间的夹角?为多大？
分析 木板运动可看成木板质心平动和绕质心的转动，木板下滑过程中，墙壁对其作用
力N1，N2不作功，机械能守恒，由此可得木板绕质心转动的角速度?与?角关系：
???(?)。对木板由质心运动定律结合???(?)可得N1或ax与?的关系。木板脱离墙
壁的条件为N1?0或ax?0，由此求得木板脱离墙壁时与地面的夹角?。
解 取板初始位置时的质心为坐标原点，建立坐标如图。对木板，由质心运动定理有
N1?max
要使木板脱离墙壁，则 即
N1?0
ax?0
木板在脱离墙壁前受到三个力作用；墙壁给板的作用力N1，地板给板的作用力N2和木板重力P?mg，如图所示。在任一时刻板质心的位置坐标为
x?L(cos??cos?0) y?L(sin?0?sin?)
(1) (2)
因此任一时刻板的质心速度vx、vy分别为
vx?dxd???Lsin???L?sin? dtdtdyvy???L?cos?
dt
(3) (4)
质心加速度在Ox轴上的分量为
ax?
dvxd?d???L?cos??Lsin? dtdtdt ??L?cos??Lsin?2
d? dt (5)
可取板和地球为研究系统，在板下滑过程中，除保守内力外，其余力均不作功，故系统的机
11
械能守恒，有
mgy?1122m(vx?vy)?J?2 22其中
J?1m(2L)2 12112m?2L2?m?2L2?m?2L2 263将式（3）和式（4）代入上式，得
mgy?解出
??3gy 2L2将式（2）代入上式，得 故
??3g(sin?0?sin?)
2L (6)
d?3g??cos? dt4L (7)
将式（6）和式（7）代入式（5），有
ax??L ??3g(sin?0?sin?)3gcos??Lsin?(?cos?)
2L4L
g9sin?0cos??gsin?cos? 24当木板脱离墙壁时，ax?0，即
3g9sin?0cos??gsin?cos? 24sin??2sin?0 323于是
可得木板脱离墙壁时，木板与地面间夹角为
??arcsin(sin?0)
说明 应用机械能守恒定律时，需注意的是，木板的动能包括质心运动动能和绕质心的
转动动能。另外，也应注意木板脱离墙壁的条件N1?0或ax?0。
12
3-9 将质量为m的均匀金属丝弯成一半径为R的圆环，其上套有一质量等于
1m的小2珠，小珠可在此圆环上无摩擦地运动，这一系统可绕固定在地面上的竖直轴转动，如图所示。
开始时，小珠（可看作质点）位于圆环的顶部A处，系统绕轴旋转的角速度为?0，求：当小珠滑到与环心同一水平的B处及环的底部C处时，环的角速度值，以及小珠相对环和相对地面的速度值。
分析 小珠与圆环组成系统绕AC轴转动角动量守恒，由此可解得小珠滑到B、C点
时圆环的转动角速度?1、?2。同时，系统机械能守恒可解得小珠在B、C点相对圆环的速度v1、v2。小珠相对地面速度为两速度合成。
解 取圆环、小珠为系统，在小珠下落过程中，系统所受外力对AC轴的力矩为零，故系统对AC轴角动量守恒，设小珠落至B、C处时环的角速度分别为?1、?2，则有
J?0?(J?1mR2)?1 2
(1) (2)
2J?0?J?2
式中J为圆环对AC轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为mR，根据垂直轴定理
J?J?mR2,J?1mR2 2 (3)
由（1）~（3）式解得
?1??0
12
(4)
(5)
?2??0
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至B、C处时，相对于环的速度分别为v1、v2，则有
11111112J?0?mgR?J?12?(m)R2?12?(m)v12 222222211111222J?0?mg(2R)?J?2?(m)v2 22222
(6) (7)
由（4）~（7）式，解得小珠在B、C处相对于环的速度分别为
13
v1?122?0R?2gR 2
(8)
v2?4gR
(9)
小珠相对于环作圆周运动，所以v1的方向与AC轴平行向下，v2的方向与AC轴垂直向左。小珠落到B处时，环上B处相对于地面速度为?1R，方向垂直纸面向里。故小珠在B处相对于地面的速度大小为
vB?v12??12R2
(10)
把（4）、（8）式代入（10）式可得
vB?322?0R?2gR 4环上C处相对于地面的速度恒为零，所以小珠在C处相对于地面的速度，即为相对于环的速度，故有
vC?v2?4gR
说明 对于本题要注意，这是一个包含有刚体和质点的系统。实际上对所有的质点系，
只要外力对某轴的力矩之和为零，则质点系关于该轴角动量守恒，只要无非保守力作功，系统机械能守恒。
3-10 如图，一实心圆柱体在一倾角为?的斜面上作无滑动滚动。设摩擦系数为?，求使该实心圆柱体只滚不滑时，?的取值范围。如果?和?可调节，能否使圆柱体在无滑下滚过程中质心保持匀速运动。
分析 圆柱体无滑下滚过程中，根据质心运动定律及绕质心轴转动定律，结合纯滚条件纯滚时，摩擦力f??N，由此可限定?角取值范围。aC??r可解得摩擦力f与?角关系。
由上也可得质心aC与?关系并由此可判断无滑下滚过程中质心的运动状态。
解 设实心圆柱体的半径为r，其对中心轴的转动惯量JC?质心沿斜面平动（以沿斜面向下为正）有
12mr，其受力如图。 2mgsin??f?maC
(1)
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在垂直斜面方向有
N?mgcos??0
(2)
绕质心的转动有
fr?JC?
只滚不滑的条件是
aC??r
由（1）、（2）、（3）、（4）式可得
??rJmgsin?
C?mr2
f?JCJ2mgsin? C?mr欲使物体只滚不滑，则必须有
f??N??mgcos?
所以
JCmgsin?J2??mgcos? C?mr
tg???JC?mr2J C即
?arctg(?JC?mr2?J)
C将JC?12mr2代入，即得
??arctg3?
要保证只滚不滑，则由（6）式知
f?JCJ2mgsin??1mgsin? C?mr3由（7）式知
??JCJtg??1 C?mr23tg?
15
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)