==

=，

已知S△OMN=

，化简可得

，

．

设P（xP，yP），则

又已知kAP=kOM，所以要证kBP=kON， 只要证明

，

而，

所以可得BP∥ON．

（M，N在y轴同侧同理可得）．

解法二：设直线AP的方程为y=kOM（x+2），代入x2+2y2=4， 得

，它的两个根为﹣2和xP， ，

可得，

从而，

所以只需证，即，

，

设M（x1，y1），N（x2，y2），若直线MN的斜率不存在，易得从而可得

，

若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m， 代入

得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0，

则，

，△=8（4k2+2﹣m2）＞0，

，

化得m4﹣（4k2+2）m2+（2k2+1）2=0，得m2=2k2+1，

．

故BP∥ON．

20．如图，已知曲线C1：y=

（x＞0）及曲线C2：y=

（x＞0），C1上的点P1的横坐标

为a1（0＜a1＜）．从C1上的点Pn（n∈N+）作直线平行于x轴，交曲线C2于点Qn，再从点Qn作直线平行于y轴，交曲线C1于点Pn+1．点Pn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列

{an}

（Ⅰ）试求an+1与an之间的关系，并证明：a2n﹣1＜（Ⅱ）若a1=，求证：|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＜

．

；

【考点】等比关系的确定；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）由已知，Pn

，从而有

，由Qn在y=

上，代入可得

，由a1＞0，及，知an＞0，下证：

解法一：由=

，可得an+1

与异号，即可证明．

解法二：由，可得=， =，可

得

，利用等比数列的通项公式可得an，进而证明．

（Ⅱ）由a2n+1=

==

，可得a2n+1﹣a2n﹣1=

﹣a2n﹣1=

，由

，可得a2n+1＞a2n﹣1，可得

＞a2n﹣1＞a2n﹣3＞…＞a1．可知an≥a1，因此|an+2﹣an+1|=

=

= ，利用递推关系及其等比数列的前n项和公式即可证明．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，Pn

，从而有，

因为Qn在y=

上，所以有=，

解得，…

由a1＞0，及下证：

，知an＞0，

解法一：因为=

，所以an+1

＜0，

＞0，

与异号，

注意到即

＜0，知

…

解法二：由，可得=， =，

所以有，即是以为公比的等比数列；

设，则

解得，…

从而有

由可得，

所以，．

所以．…

（Ⅱ）证明：因为a2n+1=

==，

所以a2n+1﹣a2n﹣1=因为所以有

﹣a2n﹣1=

，所以a2n+1＞a2n﹣1，

，

＞a2n﹣1＞a2n﹣3＞…＞a1．

从而可知an≥a1 …