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初等数论 课程教学大纲

Course Outline

课程基本信息（Course Information） 课程代码 （Course Code） *课程名称 （Course Title） *课程性质 （Course Type） 授课对象 （Target Audience） *授课语言 (Language of Instruction) *开课院系 （School） 先修课程 （Prerequisite） 授课教师 （Instructor） 无 李红泽 课程网址 (Course Webpage) 致远学院大一本科生 中文 数学科学学院 MA103 *学时 （Credit Hours） 32 *学分 （Credits） 2 （中文）初等数论 （英文）Elementary Number Theory 选修 数论是纯粹数学中最重要和最基本的一个数学分支。和其他很多分支有着广泛的联系。本课程主要讨论丢番图方程、同余、二次剩余以及一些简单的数论函数等，具有较强的逻辑性。通过本课程的学习,使学生获得数论中的同余、二次剩余、不定方程的求解及其有关的基础知识, 并具有熟练的掌握基本的同余运算能力和解*课程简介（Description） 决一些实际问题的能力,从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面, 提高学生素质奠定必要的基础。在讲授基本理论、基本方法的同时，我们也强调对学生数学素养及数学能力的培养。 希望学生在学习这门课的同时能领略到数学理论的美妙与数学思维的乐趣，并能从基本的理论事实及简单的例子体会出所折射的深刻的数学思想及数学内涵。 Number Theory is one of the most important and basic branch in pure mathematics, it has a widely connection with other branches. With strong abstractness and logic, it is the branch of mathematics, which mainly concerns with the Diophantine Equation, congruence, quadratic residue and arithmetic function. Its theory and methods have been widely used in other science fields. In summary, the aim of this course is to *课程简介（Description） provide an introduction to the theory of Number Theory. Through studying the course, the students are expected to have a deep understand on the essence of basic concepts, basic facts and basic principles. With its strongly systematic presentation and exercises, this course also cultivates students’ various abilities, such as the ability of analyzing and solving problems and so on. 学习资料分享

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课程教学大纲（course syllabus） 1) 了解算数基本定理、如何求最大公因数和最小公倍数。 2) 熟练掌握同余的概念，理解中国剩余定理及U(Z/nZ)的结构、了解完全剩余系和简化剩余系的各种构成，熟练使用欧拉定理、费尔马小定理 3) 理解一些丢番图方程，特别是简单的二元一次丢番图方程和多元一次丢番图方程的通解的求法，理解费尔马的无穷递降法、简单的四次Fermat方程 4) 理解二次剩余和二次非剩余，熟练掌握二次高斯互反律及二次Gauss和，判定一般二次同余方程是否有解的判定 5) 理解指数的来源和定义以及基本性质，熟悉原根的定义、性质以及存在的充要条件，以及如何利用原根来研究简单的高次同余方程 6) 了解数论函数、可乘数论函数的基本性质，素数分布的一些最简单结论，可以掌握素数定理的的一些最基本结论的证明，了解除数问题和园内整点问题的基本结论 教学内容 整除的概念、带余数除法、最大公因数和最小公倍数、欧几里得辗转相除法、算数基本定理 学时 教学方式 作业及要求 题量5-8， 通过作业使学生熟练掌握带余除法、辗转相除法、求最大公因数和最小公倍数、算数基本定理 题量5-8， 通过作业使学生熟练掌握求解二元一次不定方程、多元一次不定方程的通解、理解费尔马递降法、掌握勾股数的通解公式 题量10-15， 通过作业使学生熟练掌握同余的概念、完全剩余系以及简基本要求 理解并熟练掌握辗转相除法、带余除法并用来求最大公因数、算数基本定理 理解求解二元一次不定方程、多元一次不定方程的通解的基本方法、理解费尔马递降法、掌握勾股数的通解公式 理解同余的概念、可以熟练应用完全剩余系以及简化剩考查方式 *学习目标(Learning Outcomes) 4 课堂教学 作业 *教学内容、进度安排及要求 (Class Schedule &Requirements) 二元一次不定方程、多元一次不定方程、勾股数以及费尔马问题简单介绍 4 课堂教学 作业 同余的概念、剩余类及完全剩余系、简化剩余系及欧拉函数、欧拉定理及费6 课堂教学 作业 学习资料分享

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尔马小定理及其应用 化剩余系、欧拉函数的基本性质、欧拉定理以及费尔马小定理，并可以讨论研究无限小数的纯循环和混循环 题量8-10， 通过作业使学生熟练掌握一次同余方程、高次同余方程的求解以及讨论一般的高次同余方程的解数 题量10-15， 通过作业使学生熟练掌握如何判定一般二次同余有解的判定条件，熟练使用二次互反律 题量6-8， 通过作业使学生熟练掌握指数及其基本性质，原根的存在性及其基本性质，以及高次剩余 题量6-8， 通过作业使学生熟练掌握一些简单的数论函数、可以使余系、欧拉函数的基本性质、欧拉定理以及费尔马小定理 一次同余方程、中国剩余定理、高次同余方程的解数及解法、素数模的同余方程 4 课堂教学 理解同余方程的解、高次同余方程是否有界以及解的个数的简单判定 理解勒让德符号、雅可比符号的计算和性质，判定理解一般二次同余方程的 理解指数的定义及其基本性质，原根的存在性及其基本性质和来源，以及高次剩余 理解数论函数、数论函数的可乘性 作业 一般二次同余方程、素数的平方剩余和平方非剩余、勒让德符号介绍、高斯二次互反律、雅可比符号介绍 6 课堂教学 作业 指数及其基本性质、原根存在定理、指标及高次剩余 4 课堂教学 作业 一些简单的数论函数、可乘函数、素数定理的初步探讨 4 课堂教学 作业 学习资料分享