21.随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准s?11(m/s),设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹炮口速度之标准差?的0.95置信区间.
解 设X炮弹炮口速度,则X?N(?,?2),标准差?的0.95置信区间为
????(n?1)S222?1??(n?1),(n?1)S?????2??(n?1)??2??28?11217.535,28?11???(7.4,21.1). 2.18??22.随机地从A批导线中抽取4根,并从B批导线中抽取5根测得其电阻?为
A批导线 0.143 B批导线
0.140
0.142 0.143 0.137 0.142 0.136 0.138
0.140
设测试数据分别服从正态分布N(?1,?2)和N(?2,?2),且它们相互独立,又?2未知,试求?1??2的0.95置信区间.
解 ?1??2的0.95置信区间为
?(X?Y)?t1??(n1?n2?2)Sw??2?1n1?1n2,(X?Y)?t1??(n1?n2?2)Sw21n1?1? ??n2??6经计算得
n1?4,n2?5,X?0.14125,S1?8.25?10,Y?0.1392,S2?5.2?10Sw?(n1?1)S1?(n2?1)S2n1?n2?2222?62?2.55?10?3
查表得 t1??(n1?n2?2)?t0.975(7)?2.3646，最后算得区间是(?0.002,0.006).
223.设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测
2222定,其测定值的样本方差依次为SA?0.5419,SB?0.6065.设?A,?B分别为A、B22所测定的测定值总体的方差,且总体均为正态分布.求方差比?A?B的置信水平为
0.95的置信区间.
22解 方差比?A?B的置信水平为0.95的置信区间为
2?S2S11A?A·,·22?SBF1??(n1?1,n2?1)SBF?(n1?1,n2?1)?22?? ??10.5419?0.5419????,?4.03??(0.222,3.601). ?0.60654.030.6065?
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24.从一大批货物中随机抽100件进行检查,发现次品16件,求这批货物次品率
p的0.95置信区间.
解 将 X?0.16,u1???u0.975?1.96,n?100 代入下式得
2?p1?nn?u1??222?u1??2?X??u1??2?2n?2?uX(1?X)1??2???0.1009 2n4n???p2?nn?u1??222?u1??2?X??u1??2?2n?X(1?X)n2u1???2???0.2442 2?4n?所求区间为(?p1,?p2)?(1009,0.2442).
25.在某一地区中,随机对100名成年居民作民意测验,有80%的居民支持粮食调价,求在该地区的所有居民中,支持粮食调价的0.95与0.99的置信区间.
解 令
?1,第i个居民支持提价 Xi??
?0,第i个居民不支持提价i?1,2,?,100．X?0.80,u1???u0.975?1.96,n?100.
2
S?2n1ni?(Xni?12?X)?2?n1nXi?X2?2i?1?ni?n1Xi?X12
?X?X?X(1?X)?0.8?0.2?0.16所求的0.95置信区间为 ?X???Snnu0.975,X?Sn?u0.975??(0.7216,0.8784). n?0.99置信区间为 ?X???Snnu0.995,X?Sn?u0.995??(0.6968,0.9032). n?也可用24题的方法来求，但结果会有点差异．
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26.从一批某种型号的电子管中抽出10只,计算得样本平均寿命X?1200小时,标准差S?45小时.求这批电子管的期望寿命的单侧置信下限以及标准差的单测置信上限,置信水平为0.95(设电子管寿命服从正态分布)．
解 设X为电子管的使用寿命, 则X?N(?,?2).?的置信水平为0.95单侧置信区间为
?X???S?t1??(n?1),?? n?其中单侧置信下限为X?Snt0.95(9)?1200?4510标准差?的?1.8331?1173.9；
置信水平为0.95单侧置信区间为
? ?0,??2(n?1S)?? 2??(n?1)??单侧置信上限
(n?1)S2?20.05(9)?9?4523.325?74.04．
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习题八
1.某电器元件平均电阻值一直保持2.64?,今测得采用新工艺生产36个元件的平均阻值为2.61?,假定在正常条件下,电阻值服从正态分布,而且新工艺不改变电阻的标准差.已知改变工艺前的标准偏差为0.06?,问新工艺对产品的电阻值是否有显著性影响(??0.01)?
解 设X为新工艺生产的电器元件的电阻值，则X?N(?,?02),?0?0.06.要 检验的假设为
H0:??2.64 vs H1:??2.64 检验统计量为U?X?2.64?0n，拒绝域为U?u1??．经计算得
2 U?X?2.642?.612.64??3
?0n0.0636因U?3?2.58?u0.995，故拒绝H0，即新工艺对产品的电阻值有显著影响．
2.一种元件,要求其使用寿命不得低于1000(小时).现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时).已知该种元件寿命服从标准差
??100(小时)的正态分布,试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格.
2解 设X为元件的使用寿命，则X?N(?,?),??100．要检验的假设为
H0：??1000 vs H1：??1000 检验统计量为U?X?1000?n，拒绝域为U??u1??．经计算得
950?100010025 U?X?1000?n???2.5
因U??2.5??1.65??u0.95，拒绝H0，在显著性水平0.05下这批元件不合格．
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3.某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态N(?,?2),其中??40(kg/cm2),现在一批这种钢索的容量为9的一个样本测得断裂强度平均值为X,与以往正常生产的?相比,X较?大20(kg/cm2).设总体方差不变,问在??0.01能否认为这批钢索质量显著提高?
解 设X为钢索的断裂强度，且X?N(?,?2),??40.要检验
H0：??? vs H1：???
检验统计量为U?X???X??n，拒绝域为U?u1??．经计算得
U??n?20409?1.5
因U?1.5?2.33?u0.99，不拒绝H0,这批钢索质量没有显著提高.
4.正常人的脉搏平均为62次/分,今对某种疾病患者10人,测其脉搏为54 68 65 77 70 64 69 72 62 71 (次/分).设患者的脉搏次数X服从正态分布,试在显著性水平??0.05下,检验患者的脉搏与正常人的脉搏有无差异?
解 脉搏次数X?N(?,?2),?2未知．要检验的假设为 H0：??62 vs H1：??62 检验统计量为T?X?62Sn，拒绝域为T?t1??(n?1)．经计算得
2 n?10,X?67.S2?,2，4T0?.18SX?62n?67.2?626.3410?2.59
因T?2.59?2.2622?t0.975(9)，拒绝H0,患者的脉搏与正常人的脉搏差异显著．
5.测定某种溶液中的水分,它的10个测定值给出X?0.452%,S?0.035%.设总体为正态分布N(?,?2),试在显著性水平??0.05下检验假设:
(1) H0：??0.5% vs H1:??5% (2) H0:??0.04% vs H1:??0.04%
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