大题规范练(二)
(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2＋(－1)·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)∵{an}为等差数列， 4×3
S＝4a＋d＝24??2∴?7×6
S＝7a＋d＝63??2
4
1
7
1
ann
n??a1＝3
??
?d＝2?
n?an＝2n＋1.
(2)∵bn＝2＋(－1)·an＝2
1
2
ann2n＋1
＋(－1)·(2n＋1)＝2×4＋(－1)·(2n＋1)，
nnn8
∴Tn＝2×(4＋4＋…＋4)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)(2n＋1)]＝84－1
当n＝2k(k∈N)时，Gn＝2×＝n，∴Tn＝＋n；
23
*
4－1
＋Gn. 3
nnn当n＝2k－1(k∈N)时，Gn＝2×8∴Tn＝
4－1
－n－2， 384－13
nnn*
n－1
2
－(2n＋1)＝－n－2，
??∴T＝?8
??
n＋nn＝2k，k∈N*
4－1*
－n－2n＝2k－1，k∈N3
2．(本小题满分12分)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
4
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽
5奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．
2
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中将均可获得奖金400元．
5(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
141174124148
解：(1)P(X＝0)＝＋××＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1 000)＝××＝，
55252552552525∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X P 0 7 25500 2 51 000 8 2528
(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520，
52526?2?若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B?3，?，则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金X的期55?5?望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，
故选择方案甲较划算．
3．(本小题满分12分)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)若正四棱锥P-ABCD的高为1，求二面角C-AF-P的余弦值．
解：(1)证明：∵直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE， ∴AB⊥AD，又AD⊥AF，AB∩AF＝A， ∴AD⊥平面ABFE，∵AD?平面PAD， ∴平面PAD⊥平面ABFE.
(2)∵AD∥BC，AD⊥平面ABFE，∴BC⊥平面ABFE，且AB⊥BF，建立以B为坐标原点，BA，BF，
BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
∵正四棱锥P-ABCD的高为1，AE＝AD＝2，
∴A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,2,0)，C(0,0,2)，P(1，－1,1)，
→→→
∴AF＝(－2,2,0)，CF＝(0,2，－2)，PA＝(1,1，－1)， →→
设n1＝(x1,1，z1)是平面ACF的一个法向量，则n1⊥AF，n1⊥CF，
?n·→AF＝0∴??n·→CF＝0
11
??－2x1＋2＝0
，即?
?2－2z1＝0?
，
解得x1＝1，z1＝1，即n1＝(1,1,1)．
→→
设n2＝(x2,1，z2)是平面PAF的一个法向量，则n2⊥AF，n2⊥PA，
?∴??n·→PA＝0
2
→n2·AF＝0
??－2x2＋2＝0，即?
?x2＋1－z2＝0?
，
解得x2＝1，z2＝2，即n2＝(1,1,2)． ∴cos〈n1，n2〉＝
n1·n21＋1＋222
＝＝，
|n1|·|n2|33×6
又二面角C-AF-P是锐角， ∴二面角C-AF-P的余弦值是
22
. 3
4．(本小题满分12分)已知椭圆C1的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标原点．在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：
x y (1)求C1，C2的标准方程； 3 9 2－2 0 4 8 2 2 2?1?(2)已知定点C?0，?，P为抛物线C2上一动点，过点P作抛物线C2的切线交椭圆C1于A，B?8?
两点，求△ABC面积的最大值．
x2y22??
解：(1)设C1：2＋2＝1(a＞b＞0)，由题意知，点(－2,0)一定在椭圆上，则点?2，?也
ab2??
4222
在椭圆上，分别将其代入，得2＝1，2＋2＝1，解得a＝4，b＝1，
12
aab∴C1的标准方程为＋y＝1.
4
设C2：x＝2py(p＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C2的方程，得p＝1， ∴C2的标准方程为x＝2y.
2
2
x2
2