《概率论与数理统计》习题及答案

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3 C130 1113??? 22281 80 111???3/8 2220 1111??? 22282C3

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 0 2 22C3C23 ?4C73521C3C1122C2 ?4C73522C3C23 ?4C7353 1C323C2 ?4C7351C323C2 ?4C7350 1 0 12C163C2C2 ?4C73521C1CC6322 ?4C7352 P(0黑,2红,2白)= 24C22C2/C7?0 1 35

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22

?其他.?0,求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x?【解】如图P{0?X???πππ?,?y??内的概率. 463?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636

1

?sinπ4sinπ3?sinπ4sinπππ6?sin0sin3?sin0sin6?2

4(3?1).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

?Ae?(3x?4y)f（x，y）=?,x?0,y?0,,

?0其他.求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由

?????????-(3x?4y)?????f(x,y)dxdy??0?0Aedxdy?A12?1 得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)??y?x????f(u,v)dudv

?yy?(3u?4v) ????dudv??(1?e?3x)(1?e?4y0?012e)y?0,x?0,?0,???0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}

?P{0?X?1,0?Y?2}

??1?(3x?4y)0?2012edxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他.

（1） 确定常数k；

（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有

2

??????????f(x,y)dxdy??

20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,

故 R?

18

（2） P{X?1,Y?3}? ?(3) P{X?1.5}???1313????f(x,y)dydx

x?1.5???13 k(6?x?y)dydx??0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy

D1 ?1.50dx?(4) P{X?Y?4}? ?X?Y?4??2127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy

4D24?x2?0dx?12(6?x?y)dy?. 83

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

?5e?5y,y?0,fY（y）=?

0,其他.?求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.

题6图

【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其他.?0,而

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