求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数FXZ(z)?P{Z?z}?P{Y?z} (1) 当z≤0时,FZ(z)?0
(2) 当0 1000z)(如图a) F106Z(z)???x2y2dxdy????yz106103dyz?103x2y2dx y?xz =????103106?z103?2?3?z?yzy?dy?2 题15图 (3) 当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b) FZ(z)???106??zy106y?xx2y2dxdy??103dy?103x2y2dx z =????103106?1103??y2?zy3??dy?1?2z ??1?1?2z,z?1,即 f?zZ(z)??,0?z?1, ?2?其他?0,.???12z2,z?1,?故 f?1Z(z)??,0?z?1, ?2?其他?0,.?16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180的概率. 只, 9 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202), 从而 P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?180}P{X2?180} P{X3?180}P{X4?180} [P1X ?[1?P{X1?180}]?2{?180?}P][X1?{341?8P0}X][1? {4180}]??180?160???[1?P{X1?180}]4??1????? 20?????[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为 P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…, P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 P{Z=i}= ?p(k)q(i?k),i=0,1,2,…. k?0i【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数, 所以 {Z?i}?{X?Y?i} ?{X?0,Y?i}{X?1,Y?i?1}于是 {X?i,Y?0} P{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立?P{X?k}P{Y?i?k} k?0ik?0ii ??p(k)q(i?k) k?018.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参 数为2n,p的二项分布. 【证明】方法一:X+Y可能取值为0,1,2,…,2n. P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i} i?0k 10 ??P(X?i)P{Y?k?i}i?0kk?n??n?k?in?k?i????piqn?i??pqi?0?i??k?i? k?n??n?k2n?k??????pqi?0?i??k?i??2n?k2n?k???pq?k?方法二:设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服从两点分布(参数为p),则 X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布. 19.设随机变量(X,Y)的分布律为 Y 0 1 2 3 X 0 1 2 3 4 5 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0}; (2) 求V=max(X,Y)的分布律; (3) 求U=min(X,Y)的分布律; (4) 求W=X+Y的分布律. 【解】(1)P{X?2|Y?2}?P{X?2,Y?2} P{Y?2} ?P{X?2,Y?2}?P{X?i,Y?2}i?05?0.051?, 0.252P{Y?3|X?0}?P{Y?3,X?0} P{X?0}P{X?0,Y?3}?0.011?; 0.033 ??P{X?0,Y?j}j?03(2)P{V?i}?P{max(X,Y)?i}?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i} ??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i}, i?0,1,2,3,4,5 k?0k?0i?1i 11 所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 P (3) P{U?i}?P{min(X,Y)?i} 0 1 0.04 2 0.16 3 0.28 4 0.24 5 0.28 ?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i} ??P{X?i,Y?k}?k?i3k?i?1?5P{X?k,Y?i} i?0,1,2, 3于是 U=min(X,Y) P W=X+Y 0 P 0 0 0.28 (4)类似上述过程,有 1 0.02 2 0.06 3 0.13 4 0.19 5 0.24 6 0.19 7 0.12 8 0.05 1 0.30 2 0.25 3 0.17 20.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布. (1) 求P{Y>0|Y>X}; (2) 设M=max{X,Y},求P{M>0}. 题20图 【解】因(X,Y)的联合概率密度为 ?1222?2,x?y?R, f(x,y)??πR?其他.?0,(1)P{Y?0|Y?X}?P{Y?0,Y?X} P{Y?X} ?y?0y?x??f(x,y)d???f(x,y)d?π y?x1?π/40πR2rdr ?5 πR1?π4/4d??0πR2rdrd??R 12