|OA|?OF2?AF2?a。

因为|AB|2

+|OA|2

=|OB|2

，且 |OB|=2|AB|-|OA|，

所以|AB|2

+|OA|2

=(2|AB|-|OA|)2

，

于是得tan∠AOB=|AB||OA|?43。 又BF与FA同向，故∠AOF=12∠AOB， 所以 2tan?AOF1?tan2?AOF?43 解得

tan∠AOF=

12，或tan∠AOF=-2（舍去）。 因此

ba?12,a?2b,c?a2?b2?5b。 所以双曲线的离心率e=

c5a=2 （Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为

x2

-4y2

=4b2

① 由l1的斜率为

12，c=5b知，直线AB的方程为 y=-2(x-5b) ② 将②代入①并化简，得 15x2

-325bx+84b2

=0

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则

x325b84b21+x2=15，x1·x2=15 ③

AB被双曲线所截得的线段长

l=1?(?2)2?|x1?x2|?5[(x1?x22)?4x1x2] ④将③代入④，并化简得l=

4b3，而由已知l=4，故b=3，a=6 x2y2所以双曲线的方程为

36?9?1

9

22、解： （I）当00

所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数， （II）当0x 又由（I）有f(x)在x=1处连续知， 当0

因此，当0

(i)由0

(III)由（II）知，{an}逐项递增，故若存在正整数m≤k,使得am≥b,则ak+1>am≥b 否则，若am

=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak …… =a1-

?m?1kkamlnam

由③知

?m?1amlnam

于是ak+1>a1+k|a1lnb|

≥a1+(b-a1)=b

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