答：如果结论为否定命题，那么大项P在结论中是周延的。如果大前提是I命题，那么大项在大前
提中是不周延的。这就出现了矛盾。所以，结论是否定命题的三段论有效式的大前提不能是I命题。
4．如果一个有效三段论的结论为SAP，它的大小前提各是什么？写出它的逻辑形式。
答：如果一个有效三段论的结论为SAP，那么它的大小前提都应当为全称肯定命题。
但是，中项M在大小前提中不能都是谓项，否则就会两次不周延。
如果小项S在小前提中为谓项，那么小项S在小前提就是不周延的，但小项在结论中是周延的。出现矛盾。因此，小项S在小前提中是主项。因此，小前提只能是SAM。所以，大前提只能是MAP。
该三段论的形式是：MAP∧SAM├SAP。
（三）以“北京人都是中国人，有的北京人不是工人”为前提，能否必然推出下列结论？为什么？ 1．有的工人不是中国人。
答：不能，因为它们组成的三段论犯有大项扩大的错误。 2．有的中国人不是工人。
答：可以推出。因为它们能够组成有效的三段论。 （四）写出下列议论中所运用的推理形式，并分析其有效性。
过失犯罪不是故意犯罪，共同犯罪是故意犯罪，所以共同犯罪不是过失犯罪；合伙走私是共同犯罪，可见合伙走私不是过失犯罪，或者说，合伙走私是故意犯罪。
解：第一个推理是“过失犯罪不是故意犯罪，共同犯罪是故意犯罪，所以共同犯罪不是过失犯罪”，
它的推理形式是：PEM∧SAM├ SEP。这是有效的三段论。
第二个推理是“共同犯罪不是过失犯罪，合伙走私是共同犯罪，可见合伙走私不是过失犯罪”，它的推理形式是：MEP∧SAM├ SEP。这是有效的三段论。
第三个推理是“共同犯罪是故意犯罪，合伙走私是共同犯罪，可见合伙走私是故意犯罪”，它的推理形式是：MAP∧SAM├ SAP。这是有效的三段论。
七、证明题
1．设A表示命题“所有精通逻辑的都精通英语”，B表示“所有精通英语的不精通数学”，C表示“有
些精通数学的精通逻辑”。证明：若A与B均真，则C假。 证明：以命题B和A分别为大小前提得：所有精通逻辑的不精通数学。
换质得：所有精通逻辑的都不是精通数学的。 换位得：所有精通数学的都不是精通逻辑的。 该命题与C相矛盾。
所以，如果A和B均真，那么C为假。
2．用三段论规则证明：第四格的大小前提均不能是O命题。 证明：用反证法。
（1）假设大前提为O。由于前提之一是否定的，结论必然是否定的，所以大项在结论中周延。但是，
由第四格的结构可知，假如大前提是O命题，那么大项在前提中就是不周延的。这违反三段论规则：在前提中不周延的项，在结论中也不得周延。所以，大前提不能是O。
（2）假定小前提为O，则由第四格的结构可知，中项M是不周延的。由于中项在前提中必须至少
周延一次，所以M在大前提中应为周延的。M在大前提中为谓项，只有大前提取否定的时候，M才有可能是周延的。但是，两否定前提不能得出结论。所以，小前提不能为O。
3．若以A和B为前提可必然推出C，而D与C矛盾，E与A矛盾。证明：由D和B可以必然推出E。 证明：（1）(A∧B)├ C
（2）D→﹁C （3）﹁A→E
已知 已知 已知
（4）D∧B （5）D （6）B （7）﹁C （8）﹁(A∧B) （9）﹁A∨﹁B （10）﹁﹁B （11）﹁A （12）E
（13）(D∧B)→E （14）(D∧B)├ E 定命题。
证明：因为D与C矛盾，所以
假设
（4），联言推理分解式 （4），联言推理分解式
（2）、（5），充分条件推理的肯定前件式 （1）、（7），充分条件推理的否定后件式 （8），德摩根定律 （6）的等值命题
（9）、（10），选言推理的否定肯定式 （3）、（11），充分条件推理的肯定前件式 （4）、（12），→引入 （13），→与├的转换
4．若ABC分别为有效三段论的前提和结论，D是与C相矛盾的直言命题。证明：ABD中必然有两个肯
（1）若D为肯定命题，则C为否定命题。根据三段论规则“结论否定，前提之一必否定”可知，
AB中必有一否定命题。所以，ABD中有两个肯定命题。
（2）若D为否定命题，则C为肯定命题。根据同样的三段论规可知，AB均为肯定。所以，ABD
中有两个肯定命题。
5．中项周延两次的三段论有效式的结论不能是全称命题。 证明：假设其结论为全称命题，则小项在结论中为周延。
如果小项和中项在小前提中都周延。那么小前提应当是否定命题。 如果小前提是否定命题，那么结论也应当是否定命题。 如果结论是否定命题，那么大项在结论中是周延的。
如果大项在结论中是周延的，那么它在大前提中也应当是周延的。 如果大项和中项都周延，那么大前提应当是否定命题。 但是，两个否定前提得不出结论。这与假设相矛盾。
所以，中项周延两次的三段论有效式的结论不能是全称命题。
6．若ABC分别为有效三段论的前提和结论，D是与B相矛盾的性质命题，证明D∧B├ C不是有效的
三段论。
证明：已知A∧B├ C有效，则A∧﹁B├ C无效。因为已知D与B相矛盾，所以D∧A├ C无效。 八、综合题
1．有一个有效三段论的中项在大小前提中均周延，大项、小项在结论中均不周延。那么，此三段论是哪
一格的什么式？
答：因为大项和小项在结论中均不周延，所以结论为特称肯定命题。
因为结论为肯定命题，所以两前提均为肯定命题。
因为两前提都是肯定命题，中项在两前提中均周延，所以中项在两前提中均处于主项位置，大小前
提均为全称命题肯定命题。 所以，这个三段论是第三格的AAI式。
2．有一个有效三段论的大项在前提中不周延，小项在结论中周延。那么，此三段论是哪一格的什么式？ 答：因为小项在结论中周延，所以小项在前提中也周延。
大项在前提中不周延，所以大项在结论中也不周延。
因为小项在结论中周延，大项在结论中不周延，所以结论为全称肯定命题。 因为结论是全称肯定命题，所以两前提均为肯定命题。
因为小项在前提中周延，小前提为肯定命题，所以小前提为全称肯定命题，小项在小前提中处于主
项位置。
因为大项在大前提中不周延，大前提为肯定命题，所以大前提为全称肯定命题，大项在大前提中位
于谓项。
所以，该三段论为第一格的AAA式。
3．有一个有效三段论的大前提是肯定的，大项在结论中周延，小项在前提中不周延。那么，此三段论是
哪一格的什么式？
答：因为大项在结论中周延，所以结论为否命题。
因为结论为否定命题，大前提为肯定命题，所以小前提为否定命题。 因为大项在结论中周延，所以大项在前提中也周延。
因为大项在前提中周延，大前提为肯定命题，所以大项在大前提中处于主项的位置，大前提为全称
肯定命题。
因为小项在前提中不周延，小前提为否定命题，所以小项在小前提中处于主项的位置，小前提为特
称否定命题。
因为小前提是特称否定命题，所以结论也是特称否定命题。 所以，该三段论为第二格的AOO
4．有一个有效的三段论的大项在前提和结论中都是周延的，小项在前提和结论中都是不周延的，其大前
提是肯定命题。请问，此三段论是哪一格的什么式？
答：因为大项在结论中周延，小项不周延，所以结论为特称否定命题。
因为结论是否定命题，大前提是肯定命题，所以小前提是否定命题。
因为大项在前提中周延，大前提是肯定的，所以大项在大前提中处于主项位置，中项在大前提中处
于谓项位置，大前提为全称肯定命题。
因为小项在小前提中不周延，小前提是否定的，所以小项在小前提中是主项，中项在小前提中是谓
项，小前提是特称否定命题。 所以，该三段论是第二格的AOO式。
5．有一个有效三段论的大项在大前提中是周延的，但在结论中不周延。请问，它是哪一格的什么式？ 答：因为大项在结论中不周延，所以结论为肯定命题。
因为结论为肯定命题，所以大小前提均为肯定命题。
因为大项在前提中周延，大前提为肯定命题，所以大项在大前提中在主项上，中项在大前提中在谓
项的位置上，大前提为全称肯定命题，中项在不周延。 因为中项在大前提中不周延，所以中项在小前提中必定是周延的。
因为中项在小前提中是周延的，小前提是肯定命题，所以中项在小前提中在主项位置上，小项在小
前提中不周延，小前提为全称肯定命题。
因为小项在前提中不周延，所以小项在结论中也不得周延。
因为小项在结论中不周延，结论为肯定命题，所以结论为特称肯定命题。 所以，该三段论是第四格的AAI式。 九、用凡恩图判定下列三段论式是否有效 1．第一格EAE式 2．第二格AEE式 3．第三格AOO式 4．第四格EIO式
解：第一格EAE式，即MEP∧SAM├ SEP。第二格AEE式，即PAM∧SEM├ SEP。它们的凡恩图如下所示：
可见，三段论的第一格EAE式和第二格AEE式都是有效的。
第三格AOO式，即MAP∧MOS├ SOP。第四格EIO式，即PEM∧MIS├ SOP。它们的凡恩图如下所示：
显然可见，三段论的第三格AOO式是无效的，第四格EIO式是有效的。
第五章 复合命题及其推理（上）
一、填空题
1．复合命题是（包含其他命题）的命题，其命题形式的变项是（简单命题）。
2．复合命题的逻辑性质是由（命题联结词）决定的，复合命题的真假是由（命题联结词和支命题）决定
的。
解析：当然，如果给定命题联结词，例如对于联言命题，那么复合命题的真假就是由支命题决定的。
3．一个联言命题只要有一个联言支为（假），则该联言命题就是假的；只有当联言支（都为真）时，联
言命题才真。
解析：这里的“只有……才”换为“当且仅当”更好。
4．一个相容选言命题只要有一个选言支为（真），则该命题就是真的；只有选言支（都假）时，它才假。
解析：这里的“只有……才”换为“当且仅当”更好。
5．如果p假则q假，那么p是q（必要）条件，非p是非q的（充分）条件。 6．如果p←q取值为假，则p∧q取值为（假），pq取值为（真）。
7．当q为假时，要使p→q为真，则p应取（假）值。 8．如果p为任意值，要使p←q为真，q应取（假）值。 二、单项选择题
1．两个假言命题的逻辑形式相同，其相同的是（ D ）
A．前件和后件
B．前件和联结词 D．联结词
B．可同真但不可同假 D．不可同真不可同假 B．p←q D．p∨q
B．某甲掌握两门外语但不精通逻辑 D．某甲没掌握两门外语也不精通逻辑
C．后件和联结词 A．可同真且可同假 3．下列命题形式中，与pA．p→q C．p?q
2．如果一个包含两个选言支的不相容选言命题为真，则其两个选言支（ D ）
C．不可同真但可同假
q既不同真又不同假的是（ C ）
4．若“如果某甲掌握两门外语，那么他精通逻辑”为假，则下列为真的是（ B ）
A．某甲掌握两门外语并且精通逻辑 C．某甲没掌握两门外语但精通逻辑 A．A并且非B C．B并且C A．A→﹁O C．A∨O
5．以“A并且B”和“非B或者C”为前提进行演绎推理，可得出的结论是（ C ）
B．B并且非C D．A并且非C
B．﹁A→O
6．在下列表达式中，正确表达直言命题中的A命题与O命题之间真假关系的是（ D ）
D．AO
B．pqr D．p→(q∧r)
7．命题“老赵、老钱、老孙三人至少有一人是复员军人”可表示为（ C ）
A．(p∧q)∨r C．p∨q∨r （ D ）
8．“不是在保守中落后，就是在改革中进步”与“不是在保守中落后，而是在改革中进步”这两个命题
A．都是选言命题 B．都是联言命题
C．前者为联言命题，后者为选言命题 D．前者为充分条件命题，后者为联言命题
注意，“不是在保守中落后，就是在改革中进步”的意思是“如果不是在保守中落后，那么就是在改革中进步”，是充分条件命题。选项D原为“前者为选言命题，后者为联言命题”。这样的话，就没有一个选项是正确的。因此，我将选项D改为“前者为充分条件命题，后者为联言命题”。 9．“这部作品或者思想性不强，或者艺术性不高，或者既思想性不强又艺术性不高”这一命题应符号化为（ C ） A．p∨q∨r C．p∨q 命题的特征。 相同命题表示为相同符号，这是符号化的一个基本原则。如果以p表示“思想性不强”，以q表示“艺术性不高”，那么这个符合命题应当符号化为：p∨q∨(p∧q)。 由合取对析取的分配律，即A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)可得， p∨q∨(p∧q)=(p∨q∨p)∧(p∨q∨q) 由析取结合律可得， (p∨q∨p)∧(p∨q∨q)=(p∨p∨q)∧(p∨q∨q) 由于任何命题析取其自身仍然等于该命题，即A∨A=A，任何命题合取其自身仍然等于该命题，即A∧A=A，所以 (p∨p∨q)∧(p∨q∨q) =(p∨q)∧(p∨q) =p∨q 所以，正确答案为C。 注，析取对合取的分配律是A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)。 10．“如果不以事实为根据，或者不以法律为准绳，则不能公正断案”，这个命题的逻辑形式为（ C ）
A．p∧q
B．p∨q
D．(﹁p∧﹁q)→r B．p∧﹁q D．﹁p∧﹁q
C．(p∨q)→r A．p∧q C．﹁p∧q
B．pqr D．pq 解析：不相容析取命题为真，当且仅当，一个析取支为真。选项B和D显然不符合不相容析取11．如果“p当且仅当非q”与“q”均真，则下列命题形式为真的是（ C ）
12．环境污染已经成为全世界普遍关注的问题，科学家和环保组织不断发出警告：如果我们不从现在起
就重视环境保护，那么有一天人类将无法在地球上生存。
以下哪项解释最符合上述警告的含义？（ E ）
A．如果从后天而不是明天起就重视环境保护，人类的厄运就要早一天到来。 B．如果我们从现在起开始重视环境保护，人类就可以在地球上永久生活下去。 C．只要我们从现在起开始重视环境保护，人类就不至于在地球上生存不下去。 D．由于科学技术发展迅速，在厄运到来之前人类就可能移居到别的星球上去了。 E．对环境污染的严重性要有高度认识，并且要尽快采取行动做好环保工作。
13．远大公式生产的小轿车都安装了驾驶员安全气囊。在安装驾驶员安全气囊的小轿车中，有80%安装
了乘客安全气囊。只有安装乘客安全气囊的小轿车才会同时安装减轻冲击力的安全杠和防碎玻璃。
如果上述断定为真，并且事实上李先生从远大公司购进的一辆小轿车中装有防碎玻璃，则以下哪项断定一定是真的？（ C ）