第七章 向量代数与空间解析几何参考答案与提示

向量代数部分

一． 填空题 arccos31.

?2??2??2.. 2. 2. 3.

14

4. 19. 5. ?23.

6. 以 a,b为相邻边的平行四边形的面积. 7. ?27. 8. 13. 9. 是. 10. 4.

二． 选择题

1.(A) 2.(D) 3.(C) 4.(B) 5.(B) 6.(A) 7.(C) 8.(C) 9.(B) 10.(D).

三． 解答题

1. B(18,17,?17). 2. d?20211. 3. d?102.

4. B(6,?4,5).C(9,?6,10).CA?????7,1,?7?.?A?arccos413231. 5. ??40. 6. B(?3,7,0).OA???OB???13??7,?3,10?.

7.

15622. 8. (1)共面. (2)不共面. 9. V?42OABC3. S1????7ABC?2|AB?AC|?63. h?63. 10.

aba?b.

提示：设

P(cos?,sin?),Q(cos(???),sin(???)),aOP???bOQ????acos??bcos(???),asin??bsin(???)?,|aOP???bOQ??

|?a2?b2?2abcos?. lim1[|aOP??|?b|OQ??|?|aOP???bOQ??|]=

??0?2?lim1ab

??0?2[a?b?a2?b2?2abcos?]?a?b.则

四． 证明题

1. 提示：先证明GA?GB?GC?0. 2. 提示：d?|AM0|sin?AM0,s?. 3. 提示：证明a?b??c. 5. 提示：c?5a?b.

??????????空间解析几何部分

一． 填空题

xy?3z?2??. 2. (3,?1,0). 3. 1. 1. 10?7?16?x2?y2?a2,4. ? 5. x?3y?z?4?0.

z?0.?6. x?3y?z?2?0. 7. 垂直. 8. 3x?4y?z?1?0,?2y?5z?3?0.

???x?20,?x??20,9. f(?x?y,z)?0. 10. 两条直线：?3和?3

???y?2?y?2.22二． 选择题

1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5(A).

三． 解答题

1. 8x?y?13z?12?626?0,或8x?y?13z?12?626?0,

4112. (5,3,5). 3. (?,?,?).

3331313134.(?,?,?), 262626(x?13213213213?)?(y??)?(z??)??. 26262636?x?3y?2z?1?0,5. l0:?或

x?y?2z?1?0,?1xy2. ??42?1z?222(y?1)2. l0绕y轴旋转一周的曲面方程为：x?z?4y?46. x?20y?7z?12?0. 7. 点P到直线l的垂线方程为

x?1y?1z?1， ??111?22过该垂线且垂直于平面z?0的平面方程为x?2y?1?0. 8.（1）d?6.

（2）点P在直线l上的垂足为(1,?2,3). 过点P且与直线l垂直并相交的直线方程为

xy?1z?1??. 1?12194z?x?73?3. 提示：9. l1的方程为由题意知直线l1过l2与平面的交点. ?1?4106525y?z?x?282?2. 提示：设所求直线与l的交点为10. ?1871y?(2t1?3,3t1?5,t1)，与l2的交点为(5t2?10,4t2?7,t2),可求出两交点依次为

(?28,?652528026962,?),(?,?,?). 22333

综合习题

一． 填空题

1. 双曲抛物面.

5101534272. (1,2,3),(?,?,?),(1,?,).

77713133.

2. 24. (y?z)2?(z?x)2?(x?y)2?3. 5.

1. 2

二． 选择题

1.(C) 2.(D) 3.(D) 4.(A) 5.(B).

三． 解答题 1.

22. 提示：由于x2?y2?2x?4y?9.?x2?y2?6x?2y?11

?(x?1)2?(y?2)2?(2?0)2.?(x?3)2?(y?1)2?(2?1)2, 问题则转化为在平面z?2上求一点，使得该点到点A(1,2,0)与到点B(3,?1,1)的距离之和最小，而这个最小的距离之和等于点B(3,?1,1)到点A(1,2,0)关于平面z?2的对称点A?(1,2,4)的距离，即所求的最小值是|A?B|?22. 2. M(272017,?,). 提示：先求点P关于平面的对称点P?，求出点Q和点P?所777决定的直线，该直线在平面上的交点即为M. 其中，点P?(5,?8,3)，Q和点P?所决定的直线为

x?3y?1z?2??. 2?913. x2?y2??2z2??2.

当??0,??0时，方程为圆柱面； 当??0,??0时，方程为圆锥面； 当??0,??0时，方程为单页双曲面. 4. (x?z)2?(y?z)2?R2..

1x?1y3. 提示：设分别与四条直线相交的交点坐标为A(1,0,x)， 5. ??36?2z?B(y,1,0)，C(0,z,1)，D(?6u,?6u,u).

x?5y?2z?4??. ?51117. .

36.

8. x2?(2z?y)2?(z?1)2.. 四． 证明题

1. 提示：证明(a?b)?(b?c)?(c?a)?0.

2. 提示：A，B，C三点共线的充要条件是(a?b)?(b?c)?0. 3. 距离d?

1x?8yz?2??. ，公垂线方程为

31?224. 提示：任取曲面?上的一点M0(x0,y0,z0)，证明过M0(x0,y0,z0)且平行于直

线L的直线都在曲面?上.

x2y2z25. 提示：单叶双曲面2?2?2?1的方程变形为

abcxzxzyy(?)(?)?(1?)(1?)， acacbby?xz??t(1?),?acb 可得该曲面上的直线：?yxz?1??t(?),ac?bx2y2z2当取任何值时，上述直线都在单叶双曲面2?2?2?1上，故该曲面是由直线簇

abc构成.

y?xz??t(1?),?acb 另外，还可得到该曲面上的另一簇直线：?yxz?1??t(?).ac?b6. 提示：设点M0(x0,y0,z0)是抛物面上的任意点，并设过点M0(x0,y0,z0)的直线

x?x0y?y0z?z0，证明无论m,n,p为何，该直线都不在该抛物面上. ??mnp第七章自测题

一.填空题 1．?30 2.

x?1yz?43?? 3. x?y?z?0 1619282x2y2z2?2?1 5. x2?y2?1 4. 2?222aa?ca?c二.选择题

1. A 2. B 3. C 4. A 5. A 三.计算题

7?71414??211??1. ??, 2. ,?,?,? ?3?999??666?3.

x?4y?4z?3x?3y?5z?9x?1y?1z?1?????? 4. 5. 3323?111222?x?0?y?0?z?06. ? ? ?

?7y?4z?3?0?7x?29z?36?0?4x?29z?33?0