“数学归纳法”教学设计 山西省平遥中学李英 【教学内容剖析】

《数学归纳法》是人教版选修教材2—2第二章第三节内容，本节课是第一课时。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。

数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。 【教学目标确定】 1、知识和技能

(1) 了解数学归纳法的原理；

(2) 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式； (3) 会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 2、过程与方法

通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体验由实践向理论过度的过程。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。 3.情感态度价值观

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。进一步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。 【教学重点和难点】

根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，本节课知识的重点和难点制定如下： 教学重点：

（1）使学生理解数学归纳法的实质。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用 教学的难点：

（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．

因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。 为突破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转化为对两个命题：“（1）当时，命题成立；（2）假设时，命题成立，求证：当时命题成立”的证明，而且在第二个命题的分析中强调条件的存在与用途，从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点． 【教学条件支持】

利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学

归纳法的证明步骤．

另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果．

【教学过程设计】 一、问题导入

1、思考题：已知数列满足，且，我们已经计算出，并由此猜想通项公式为，那么如何证明我们的猜想是正确的呢？

分析：逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的一种特殊的直接证明方法——数学归纳法”．

【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题的类型出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”． 2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想

游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.

思考游戏1: 多米诺骨牌游戏的最大特点是什么？（牵一发而动全身） 思考游戏2: 摆放好多米诺骨牌，推倒第2块骨牌，观察发生的结果？

【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.

思考游戏3: 摆放好多米诺骨牌，存在一块骨牌倒下后没有砸倒下一块骨牌，观察发生的结果？

【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌倒下，是后一块骨牌倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性和传递性．

问题1:要确保所有的多米诺骨牌都倒下，那么必须满足哪些条件？

问题2: 从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命题的方法？ 【设计意图】在类比的过程中学习数学归纳法.

分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）证明当取第一个值时,命题成立. （归纳奠基）

分析2：根据“假设某一块骨牌倒下，那么必定导致后一块骨牌倒下。”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）假设时命题成立,证明当时命题也成立. （归纳递推）

分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立. 板书，证明过程

3.数学归纳法概念的形成

数学归纳法: 对于一些与正整数有关的命题，我们常采用下面的方法来证明它们的正确性： （1）证明当取第一个值时,命题成立；（归纳奠基） （2）假设时命题成立,证明当时命题也成立； （归纳递推） 根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立.

问题3: (1)为什么完成了“两个步骤和一个结论”就说明命题对所有的正整数都成立？ 【设计意图】进一步理解“通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的情形. 分析：有了第（1）步，就有了基础；有了第（2）步，就可以进行传递，形成了无限的循环；

有了结论，整个数学归纳法的过程顺利完成了. 4.数学归纳法的应用

【设计意图】尝试应用数学归纳法解决问题，所以本题选取了教材练习的第一小题。在本题证明中，如果有学生出现直接套用公式解决的同学，就及时强调第二步证明中核心———必须用到归纳假设。

（3）请用数学归纳法证明： 5．课堂小结

（1）理解数学归纳法的原理

（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。 （3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。 6．课后作业：

课本: P95 练习2;(必做)

P96习题2.3 A组 1、2（必做）

B组 1、2 （选做） 7．板书设计：