《数学归纳法》教学设计 下载本文

“数学归纳法”教学设计 山西省平遥中学李英 【教学内容剖析】

《数学归纳法》是人教版选修教材2—2第二章第三节内容,本节课是第一课时。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习,初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法,即不完全归纳法。但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确,这种推理方法不能作为一种论证方法。因此,在不完全归纳法的基础上,必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。

数学归纳法亮点就在于,通过有限个步骤的推理,证明n取无限多个正整数的情形,这也是无限与有限辨证统一的体现。并且,本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。 【教学目标确定】 1、知识和技能

(1) 了解数学归纳法的原理;

(2) 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式; (3) 会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 2、过程与方法

通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理,使学生体验由实践向理论过度的过程。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识,解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。 3.情感态度价值观

通过对问题的探究活动,亲历知识的构建过程,领悟其中所蕴涵的数学思想;体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐,感悟“数学美”,激发学习热情,培养多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。进一步形成正确的数学观,创新意识和科学精神。 【教学重点和难点】

根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平,本节课知识的重点和难点制定如下: 教学重点:

(1)使学生理解数学归纳法的实质。

(2)掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用 教学的难点:

(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质,具体表现在不了解第二个步骤的作用,不易根据归纳假设作出证明;

(2)运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.

因此,用数学归纳法证明命题的关键在第二步,而第二步的关键在于合理利用归纳假设.如果不会运用“假设当时,命题成立”这一条件,那实际上就是不会运用数学归纳法。 为突破以上教学难点,通过问题的转化,进而把无限的验证转化为对两个命题:“(1)当时,命题成立;(2)假设时,命题成立,求证:当时命题成立”的证明,而且在第二个命题的分析中强调条件的存在与用途,从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点. 【教学条件支持】

利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏,从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”,知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来,才能完成数学归纳法的证明过程,理解数学

归纳法的证明步骤.

另外,在课堂练习时,选择学生中有代表性的解法,利用实物投影进行分析讲解,增强课堂教学效果.

【教学过程设计】 一、问题导入

1、思考题:已知数列满足,且,我们已经计算出,并由此猜想通项公式为,那么如何证明我们的猜想是正确的呢?

分析:逐一验证是不可能的.那么,我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理,证明取所有正整数都成立”的问题.引出课题“这就是我们今天要研究的一种特殊的直接证明方法——数学归纳法”.

【设计意图】应用归纳推理,发现新事实,获得新结论,这是数学归纳法的先行组织者;该思考题的类型出现在本章第一节的合情推理中,是课标教材“螺旋式”上升的具体体现,其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”. 2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想

游戏:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析,让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程,从而理解数学归纳法的本质.

思考游戏1: 多米诺骨牌游戏的最大特点是什么?(牵一发而动全身) 思考游戏2: 摆放好多米诺骨牌,推倒第2块骨牌,观察发生的结果?

【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中,体会所有骨牌都倒下,第1块骨牌必须倒下,这是基础,也是前提条件.

思考游戏3: 摆放好多米诺骨牌,存在一块骨牌倒下后没有砸倒下一块骨牌,观察发生的结果?

【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中,第块骨牌倒下,是后一块骨牌倒下的保证,这就是多米诺骨牌游戏的连续性和传递性.

问题1:要确保所有的多米诺骨牌都倒下,那么必须满足哪些条件?

问题2: 从多米诺骨牌游戏中,抽象出解决与正整数有关的命题的方法? 【设计意图】在类比的过程中学习数学归纳法.

分析1:根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步,即(1)证明当取第一个值时,命题成立. (归纳奠基)

分析2:根据“假设某一块骨牌倒下,那么必定导致后一块骨牌倒下。”,抽象出数学归纳法的第二步,即(2)假设时命题成立,证明当时命题也成立. (归纳递推)

分析3:从完成“多米诺骨牌游戏”中,抽象出数学归纳法证明命题的结论,即由(1),(2)可知,命题对于从开始的所有正整数都成立. 板书,证明过程

3.数学归纳法概念的形成

数学归纳法: 对于一些与正整数有关的命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性: (1)证明当取第一个值时,命题成立;(归纳奠基) (2)假设时命题成立,证明当时命题也成立; (归纳递推) 根据(1)和(2),可知命题对于从开始的所有正整数都成立.

问题3: (1)为什么完成了“两个步骤和一个结论”就说明命题对所有的正整数都成立? 【设计意图】进一步理解“通过有限个步骤的推理,证明取所有正整数都成立”的情形. 分析:有了第(1)步,就有了基础;有了第(2)步,就可以进行传递,形成了无限的循环;

有了结论,整个数学归纳法的过程顺利完成了. 4.数学归纳法的应用

【设计意图】尝试应用数学归纳法解决问题,所以本题选取了教材练习的第一小题。在本题证明中,如果有学生出现直接套用公式解决的同学,就及时强调第二步证明中核心———必须用到归纳假设。

(3)请用数学归纳法证明: 5.课堂小结

(1)理解数学归纳法的原理

(2)数学归纳法的两个步骤缺一不可,前者是基础,后者是递推依据,最终给出结论。 (3)数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。 6.课后作业:

课本: P95 练习2;(必做)

P96习题2.3 A组 1、2(必做)

B组 1、2 (选做) 7.板书设计: