第一章 集合与函数概念
学习目标
通过总结和归纳集合与函数的知识,能够使学生综合运用知识解决有关问题,培养学生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,逐步培养学生应用数学思想(数形结合、分类计论思想等)解决实际问题的能力.
合作学习
一、提出问题
①第一节是集合,分为几部分?
②第二节是函数及其表示,分为几部分? ③第三节是函数的基本性质,分为几部分? ④画出本章的知识结构图.
二、应用示例
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【例1】若P={x|y=x},Q={(x,y)|y=x,x∈R},则必有( ) A.P∩Q=?
B.P?Q C.P=Q D.P?Q
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【例2】求函数y=x+1的最小值.
【例3】求函数y= 的最大值和最小值.
【例4】函数f(x)=x-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
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在区间(1,+∞)
三、变式训练
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1.设集合M={x|x>1},P={x|x-6x+9=0},则下列关系中正确的是( ) A.M=P B.P?M C.M?P D.M∩P=R
2.定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且x?A∩B},则(A*B)*A等于( ) A.A∩B B.A∪B C.A D.B 3.求函数f(x)= - 的单调区间.
四、作业
课本P44复习参考题第5,7题.
参考答案
一、提出问题
①分为:集合的含义与表示、集合间的基本关系和集合的基本运算三部分.
②分为:函数的概念(定义、定义域、值域),函数的表示(列表法、图象法、解析法)两部分;其中又把函数的概念拓展为映射.
③分为:单调性、最值和奇偶性三部分. ④第一章的知识结构图如图所示,
二、应用示例
【例1】解析:从选项来看,本题是判断集合P,Q的关系,其关键是对集合P,Q的意义的
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理解.集合P是函数y=x的定义域,则集合P是数集;集合Q是函数y=x的图象上的点组成的集合,则集合Q是点集.故P∩Q=?.
答案:A
点评:判断用描述法表示的集合间关系时,一定要搞清两集合的含义,明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集,形如集合{(x,y)|x,y∈P(x,y),x,y∈R}是点集,数集和点集的交集是空集.
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【例2】解:方法一(观察法)∵函数y=x+1的定义域是R,
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∴观察到x≥0.∴x+1≥1.∴函数y=x+1的最小值是1.
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方法二:(公式法)函数y=x+1是二次函数,其定义域是x∈R,则函数y=x+1的最小值是f(0)=1.
点评:求函数最值的方法:
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观察法:当函数的解析式中仅含有x或|x|或 时,通常利用常见的结论x≥0,|x|≥0, ≥0等,直接观察写出函数的最值;
公式法:求基本初等函数(正、反比例函数,一次、二次函数)的最值时,应用基本初等函数的最值结论(看成最值公式),直接写出其最值.
【例3】解:(判别式法)由y=
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得
yx-3x+4y=0,
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∵x∈R,∴关于x的方程yx-3x+4y=0必有实数根. 当y=0时,则x=0,故y=0是一个函数值;
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当y≠0时,则关于x的方程yx-3x+4y=0是一元二次方程,
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则有Δ=(-3)-4×4y≥0. ∴0 2 的最小值是-,最大值是. 2 (d≠0),当函数的定义域是R(此时e-4df<0)时,常用判别式法 2 点评:形如函数y= 求最值,其步骤是:①把y看成常数,将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx+nx+k=0; 2 ②分类讨论m=0是否符合题意;③当m≠0时,关于x的方程mx+nx+k=0中有x∈R,则此一元 2 二次方程必有实数根,得n-4mk≥0,即关于y的不等式,解不等式组 - ≥ 此不等式组 的解集与②中y的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值. 2 【例4】解析:函数f(x)=x-2ax+a的对称轴是直线x=a,由于函数f(x)在开区间(-∞,1) 上有最小值,所以直线x=a位于区间(-∞,1)内,即a<1.g(x)=函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性. 设1 =x+-2a,下面用定义法判断 g(x1)-g(x2)=(x1+ -2a)-(x2+ -2a)=(x1-x2)+( - )=(x1-x2)(1- - )=(x. 1-x2) ∵1 又∵a<1,∴x1x2>a.∴x1x2-a>0. ∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1) ∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,函数g(x)在区间(1,+∞)上没有最值. 答案:D 三、变式训练 1.解析:P={3},∵3>1,∴3∈M.∴P?M. 答案:B 2.解析:设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7},于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B. 答案:D 点评:解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质,本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去由它们公共元素组成的集合. 2 3.解:函数的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞).设y= ,u=x-1, 2 当x≥0时,u=x-1是增函数,y= 是增函数, ∴函数f(x)= - 在[1,+∞)上是增函数. 当x≤0时,u=x-1是减函数,y= 是增函数, 2