2013年北约自主招生数学试题与答案

2013-03-16

（时间90分钟，满分120分）

g1?32??(7a?b?c?d?e)?(2a?3b?2c?d)32?(6a?3b?c)34?0

???7a?b?c?d?e?0??

2a?3b?2c?d?0?(1)?4a?2c?e?0?2b?d?0(2)??即方程组：?7a?b?c?d?e?0(3)，有非0有理数解.

?2a?3b?2c?d?0(4)?(5)??6a?3b?c?0由（1）+（3）得：11a?b?c?d?0 （6） 由（6）+（2）得：11a?3b?c?0 （7） 由（6）+（4）得：13a?4b?3c?0 （8） 由（7）?（5）得：a?0，代入（7）、（8）得：b?c?0，代入（1）、（2）知：d?e?0.

于是知a?b?c?d?e?0，与abcd,,,,e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的

有理系数多项式g(x)，其两根分别为2和1?32. 综上所述知，以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小为5.

2.在6?6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？

A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400

解析：先从6行中选取3行停放红色车，有C6种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红

3色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有C6?6?5?4?6?14400种停放汽车的方法. 3.已知x?2y?5,y?2x?5，求x?2xy?y的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：

2232233x3?2x2y2?y3?x(2y?5)?2(2y?5)(2x?5)?y(2x?5)?15x?15y?4xy?50

由x?2y?5,y?2x?5两式相减得(x?y)(x?y)?2y?2x故y?x或x?y??2 ①若x?y则x2?2x?5，解得x?1?6.于是知x?y?1?6或x?y?1?6. 当x?y?1?6时，

22x3?2x2y2?y3??4xy?15(x?y)?50??4x2?30x?50??4(x2?2x?5)?38x?70 ??38x?70??108?386.

当x?y?1?6时

x3?2x2y2?y3??4xy?15(x?y)?50??4x2?30?50??4(x2?2x?5)?38x?70 x2?y2?(2y?5)?(2x?5)?2(y?x)?x?y??2??38x?70??108?386.

（2）若x?y，则根据条件知：x?y?(2y?5)?(2x?5)?2(y?x)?x?y??2，于是x?y?(2y?5)?(2x?5)?2(x?y)?10?6，

2222(x?y)2?(x2?y2)??1. 进而知xy?2于是知：x?2xy?y?4xy?15(x?y)?50??16.

3223综上所述知，x?2xy?y的值为?108?386或?16.

3223

4.数列?an?满足a1?1，前n项和为Sn,Sn?1?4an?2，求a2013. A. 3019?2

2012

B. 3019?2

2013

C. 3018?2

2012

D.无法确定

解析：根据条件知：4an?1?2?Sn?2?an?2?Sn?1?an?2?4an?2?an?2?4an?1?4an.又根据条件知：a1?1,S2?a1?a2?4a1?2?a2?5.

所以数列?an?:a1?1,a2?5,an?2?4an?1?4an.

又an?2?4an?1?4an?an?2?2an?1?2(an?1?2an).令bn?an?1?2an， 则bn?1?2bn,b1?a2?2a1?3，所以bn?3?2对an?1?2an?3?2n?1n?1.即an?1?2an?3?2n?1.

anan?1an3an?1an3，即.令，c?????n2n2n?12n42n?12n4a13133n?1则cn?1?cn?，c1?1?，于是知cn??(n?1)?.所以

4222443n?1nan?,2?(3n?1)?2n?2.于是知：a2013?(3?2013?1)?22011?3019?22012.

4，两边同除以2n?1，有

5．如图，?ABC中，AD为BC边上中线，DM,DN分别?ADB,?ADC的角平分线，试比较BM?CN与MN的大小关系，并说明理由. A. BM+CN>MN B. MN?CN?MN C. BM+CN?MN D.无法确定

解析：如图，延长ND到E，使得DE?DN，连接BE、ME.易知?BDE??CDN，所以CN?BE.又因为DM,DN分别为?ADB,?ADC的角平分线，所以?MDN?90?，知

6.模长为1的复数A、B、C，满足A?B?C?0，求

MD为线段EN的垂直平分线，所以MN?ME.所以BM?C?NB?M?BE. ?AB?BC?CA的模长.

A?B?C A. ?1/2 B. 1 C. 2 D.无法确定 解析：根据公式z?z?z知，A?A?1,B?B?1,C?C?1.于是知：

AB?BC?CA?A?B?C?AB?BC?CAAB?BC?CA?

A?B?CA?B?C(ABCC?ABCC?BCAA?BCAA?CABB?CABB)?(AABB?BBCC?CCAA) (AB?AB?BC?BC?CA?CA)?(AA?BB?CC)