第3讲 幂函数

★知识梳理

一、幂函数的概念

一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数 二、幂函数的图像及性质

Z&xx&k 学+科+网Z+X+X+K] 奇 在第Ⅰ象限单调递减 定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限的增减性 R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 非奇非偶 在第Ⅰ象限单调递增 幂函数（R，是常数）的图像在第一象限的分布规律是： ①所有幂函数（R，是常数）的图像都过点； ②当时函数的图像都过原点；

③当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）； ④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如） ⑤当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）

⑥当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如） ★重、难点突破

重点：幂函数的概念、几个特殊幂函数的图像与性质。 难点：综合运用几个特殊幂函数的图像与性质解决问题。 重难点：幂函数性质的拓展 当时，幂函数有下列性质： （1）图象都通过点；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。 当时，幂函数有下列性质： （1）图象都通过点；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近； （4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。

无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。 ★热点考点题型探析

考点 幂函数的概念、图象和性质

题型1：利用幂函数的单调性比较大小

[例1]（中山市09届月考）已知，试比较的大小；

[解题思路]欲比较这几个数的大小，因为它们的指数相同，应考虑某个幂函数的单调性 [解析] 在上单调递增，又 ∴ .

[名师指引]比较几个数式的大小，是解题过程中常常遇到的知识考点，往往都要用到函数的单调性，我们应该熟练掌握规定的几个特殊幂函数的单调性、奇偶性及图像特征.

ZXXK]题型2：由幂函数的性质确定解析式

[例2] 已知函数f(x)=x (p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且在其定义域上是偶函数。 （1）求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式。 （2）对于（1）中求得的函数f(x)，设函数g(x)=－qf[f(x)]+(2q－1)f(x)+1，问是否存在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(－∞,－4上是减函数，且在区间(－4,0)上是增函数。若存在，请求出来；若不存在，请说明理由。

[解题思路]（1）由函数f(x)=x (p∈Z)在(0,+∞)上是增函数即可知 ，又由p∈Z即可确定p的值

（2）根据（1）的结果，利用函数单调性的定义进行探索求解。 [解析] （1）若y=在x∈(0,+∞)上是递增函数，则有α>0。 ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数，

∴－p2+p+>0 解得：－1

当p=0或2时，有f(x)=不是偶函数，故p=1，此时,f(x)=x2。 （2）设t=x2，由g(x)在(－∞,－4上是减函数，在(－4,0)上是增函数，而t=x2在[16，+∞和(0,16)上都是增函数，得h(t)=－qt2+(2q－1)t+1在（0，16）上是增函数，在[16，+∞上是减函数，从而可得=16，∴q=－

故存在实数q=－，使得g(x)在(－∞,－4上是减函数，且在(－4,0)上是增函数。

[名师指引]（1）解决这类问题要紧扣幂函数的定义和性质，依单调性从其指数入手；（2）复合函数的单调规则是我们处理复合函数的单调性的重要依据。 [新题导练] 1．（珠海斗门中学09届月考）幂函数①,

②及直线③，④将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”： Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），

那么幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ） A．Ⅳ，Ⅶ ；B． Ⅳ，Ⅷ；Ｃ．Ⅲ，Ⅷ；D． Ⅲ，Ⅶ [解析] D；由于当时，，当时，，故幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是Ⅲ，Ⅶ 2．若，则的取值范围是 [解析]；令，则在上是减函数，故得 ，解得

3．求函数的定义域、值域，并判断其单调性 [解析]因为必为奇数，并且

所以函数的定义域为，类比的图象可知，所求函数的值域为，并且在上为增函数 [备选例题]已知函数满足

（1）求的值并求出相应的的解析式；

（2）对于（1）中得到的函数，试判断是否存在，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由

[解题思路]利用求，易得的解析式，再利用表达从而求解 [解析]（1）因为，所以在第一象限是增函数 故，解得

又，所以或，当或时， 所以

（2）假设存在满足题设，由（1）知，

因为，所以两个最值点只能在端点和顶点处取到 而，所以

学|科|网Z|X|X|K]Z§xx§k ，解得，所以存在满足题意 ★抢分频道 基础巩固训练：

1．在函数中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

[解析] B；显然，根据幂函数可知，只有是幂函数 2．(2007·山东改编)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为 [解析] 1,3；当及时，的定义域都不是R，当及时，的定义域都都是R，并且都是奇函数

3．如图所示,曲线是幂函数在第一象限内的图像,已知分别取四个值,则相应图像依次为： [解析]；根据幂函数的图象特征知，当分别取时，相应图像依次为 4．(2007·广东实验中学)设，如果是正比例函数，则m=______,如果是反比例函数，则m=______,如果是幂函数，则m=______ [解析]，，2；若是正比例函数，则，即；若是反比例函数，则，即；若是幂函数，则，即 5．函数的图象只可能是( )

A B C D [解析]显然，是偶函数，故可排除A和B，又，所以应选择C 综合提高训练：

6．讨论函数的定义域、值域及函数值y随x变化规律，并画出其图象． [解析]，函数的定义域，值域．由图象可知，在区间(0，+∞)上函数值y随x的增加而减小．

7．当时，下列不等式中正确的是（ ） ；；；

[解析]；由知指数函数是减函数，又由知， ，所以可排除和；又幂函数是增函数，，故 ，而由指数函数是增函数知， 即，从而排除