11

所以三棱锥O-EFG体积的最大值(VO-EFG)max＝×(S△EFG)max×AB＝×4×3＝4.

33答案：4 [方法归纳]

多面体与球的切接问题的解题技巧 方法 解读 解答时首先要找准切点，通过作截面来解截面法 决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作 首先确定球心位置，借助外接的性质——球心构造直角三角形法 到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形，利用勾股定理求半径 因正方体、长方体的外接球半径易求得，故将补形法 一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求解 平面图形的翻折问题

[必备知识]

将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，把这类问题称为平面图形的翻折问题．平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是化解翻折问题难点的主要方法．

[题组练透]

2π

1．(2017·南通三模)已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高3为________．

三条侧棱两两垂直的三棱锥，从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等 正棱锥、正棱柱的外接球 球内切多面体或旋转体 适合题型 解析：因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为

2π

的扇形，所以圆锥的母线长l＝3，设圆3

2π22

锥的底面半径为r，则底面周长2πr＝3×，所以r＝1，所以圆锥的高为3－1＝22.

3

答案：22

2．(2017·南京考前模拟)如图，正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别为边AC与BC的中点，现将△ABC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面DCB，则棱锥E-DFC的体积为________．

11?32?311

解析：S△DFC＝S△ABC＝×?×2?＝，E到平面DFC的距离h等于AD＝.

44?422?413

VE-DFC＝×S△DFC×h＝.

324答案：

3

24

的分AB△

3.(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm)的最大值为________．

解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC的边长变化时， 设△ABC的边长为a(a>0)cm， 则△ABC的面积为

323a，△DBC的高为5－a， 46

3

则正三棱锥的高为53

∴25－a>0，

3∴0

?3??3??5－a?2－?a?2＝

6??6??

53

25－a，

3

132

∴所得三棱锥的体积V＝×a×

3453325－a＝×

312535

425a－a .

3

535

令t＝25a－a，

3

4

2534

则t′＝100a－a，

3

3

由t′＝0，得a＝43，

此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm.

法二：如图，连接OD交BC于点G，由题意知，OD⊥BC.易得OG＝

3

6

BC，

3

12

设OG＝x，则BC＝23x，DG＝5－x，S△ABC＝×23x×3x＝33x，

212

故所得三棱锥的体积V＝×33x×

3

5－x

2

－x＝3x×25－10x＝3×25x－10x.

2245

?5?45

令f(x)＝25x－10x，x∈?0，?，

?2?

则f′(x)＝100x－50x，

令f′(x)>0，即x－2x<0，得0

4

3

3

4

?5?

则当x∈?0，?时，f(x)≤f(2)＝80，

?2?

∴V≤3×80＝415.

∴所求三棱锥的体积的最大值为415. 答案：415 [方法归纳]

解决翻折问题需要把握的两个关键点 (1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧的，线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”． ①与折线垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变； ②与折线平行的线段，翻折前后平行关系不改变． (2)解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形． [课时达标训练] [A组——抓牢中档小题]

1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1-ADE的体积为________．

11111

解析：VB1-ADE＝VD-AEB1＝S△AEB1·DA＝×××1×1＝. 3322121

答案：

12

2．若两球表面积之比是4∶9，则其体积之比为________． 解析：设两球半径分别为r1，r2，因为4πr1∶4πr2＝4∶9，

4343?r1?3?2?3

所以r1∶r2＝2∶3，所以两球体积之比为πr1∶πr2＝??＝??＝8∶27.

33?r2??3?答案：8∶27

3．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．

解析：设正方体的棱长为a，则6a＝18，得a＝3，设该正方体外接球的半径为R，则2R＝33434π279

a＝3，得R＝，所以该球的体积为πR＝×＝π.

23382

9

答案：π

2

4．已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60π cm，则此圆锥的体积为________cm. 解析：设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则侧面积为πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，则圆锥12122

的高h＝l－r＝8，则此圆锥的体积为πrh＝π×36×8＝96π.

33

答案：96π

5．(2017·扬州期末)若正四棱锥的底面边长为2(单位：cm)，侧面积为8(单位：cm)，则它的体积为________(单位：cm)．

1

解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c＝8，ch′＝8，所以斜高h′

21243

＝2，正四棱锥的高为h＝3，所以正四棱锥的体积为×2×3＝. 33

43

答案：

3

6．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧V13S1

面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．

V2πS2

3

2

2

3

2

2

2