试用这一公式求解初值问题
yn?1?2yn?yn?1?h2f(xn,yn),
验证计算解恒等于准确解
?y???1;??y(0)?y(1)?0,
15. 取h=0.2用差分方法解边值问题
x2?xy(x)?.2
?(1?x2)y???xy??3y?6x?3;??y(0)?y?(0)?1,y(1)?2.
第六章 方程求根
1. 用二分法求方程x?x?1?0的正根，要求误差<0.05。
2. 用比例求根法求f(x)?1?xsinx?0在区间[0,1]内的一个根，直到近似根xk满足精度
2|f(xk)|?0.005时终止计算。
323. 为求方程x?x?1?0在x0?1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。
22x?1?1/xk?1kx?1?1/x1），迭代公式；
2332x?1?xk?1kx?1?x2），迭代公式；
1x2?x?1，迭代公式xk?1?1/xk?1。 3）
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 4. 比较求e?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量；
1）在区间[0,1]内用二分法；
xkx?(2?e)/10，取初值x0?0。 k?12) 用迭代法
5. 给定函数f(x)，设对一切x,f?(x)存在且0?m?f?(x)?M，证明对于范围内0???2/M的任意定数λ，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)的根x?。
x6. 已知x??(x)在区间[a,b]内只有一根，而当a |??(x)|?k?1， 试问如何将x??(x)化为适于迭代的形式？ 将x?tgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。 7. 用下列方法求f(x)?x?3x?1?0在x0?2附近的根。根的准确值x＝1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。 1) 用牛顿法； ?32）用弦截法，取x0?1,x1?1.9； 3）用抛物线法，取x0?1,x1?3,x2?2。 8. 用二分法和牛顿法求x?tgx?0的最小正根。 9. 研究求a的牛顿公式 xk?1?证明对一切k?1,2,?,xk?1a(xk?),x0?0,2xk a且序列x1,x2,?是递减的。 10. 对于f(x)?0的牛顿公式xk?1?xk?f(xk)/f?(xk)，证明 Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2 收敛到?f??(x)/(2f?(x))，这里x为f(x)?0的根。 11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度： ?????x,x?0;f(x)??????x,x?0; 1) 23??x,x?0;f(x)??23??x,x?0. ?2) 3212. 应用牛顿法于方程x?a?0，导出求立方根a的迭代公式，并讨论其收敛性。 13. 应用牛顿法于方程值。 f(x)?1?a?0x2，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的 f(x)?1?a?0nxn，分别导出求a的迭代公 14. 应用牛顿法于方程f(x)?x?a?0和 式，并求 k??nlim(na?xk?1)/(na?xk)2.15. 证明迭代公式 xk?1x(x?3a)?kk23xk?a 2?是计算a的三阶方法。假定初值x0充分靠近根x，求 lim(a?xk?1)/(a?xk)3.k?? 第七章 解线性方程组的直接方法 1. 考虑方程组： ?0.4096x1?0.1234x2?0.2246x?0.3872x?12??0.3645x1?0.1920x2??0.1784x1?0.4002x2?0.3678x3?0.2943x4?0.4043;?0.4015x3?0.1129x4?0.1550;?0.3781x3?0.0643x4?0.4240;?0.2786x3?0.3927x4??0.2557; (a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算）， (b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。 2. (a) 设A是对称阵且a11?0，经过高斯消去法一步后，A约化为 ?a11??0证明A2是对称矩阵。 (b)用高斯消去法解对称方程组： a1T??A2? 4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当?i?0(i?1,2,?,n?1)时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U 为上三角阵。 ?0.6428x1?0.3475x2?0.8468x3?0.4127;??0.3475x1?1.8423x2?0.4759x3?1.7321;??0.8468x?0.4759x?1.2147x??0.8621.123? |aii|??|aij|(i?1,2,?,n),j?i6. 设A 为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A 是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式 j?1n?a11??0?a11??0A?(aij)n,A2?(aij其中 (2)a1T??A2?。 a1T??A2?， 7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为 )n?1; 证明 （1）A的对角元素aii?0(i?1,2,?,n); （2）A2是对称正定矩阵； (n)a?aii,(i?1,2,?,n); n（3） （4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5）2?i,j?n(2)max|aij|?max|aij|;2?i,j?n （6）从（2），（3），（5）推出，如果8. 设Lk为指标为k的初等下三角阵，即 |aij|?1，则对所有k (k)|aij|?1. ?1????????1Lk???m1k?1,k????????m1??nk??（除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同） ~L?IijLkIij也是一个指标为k的初等下三角阵，其中Iij为初等排 求证当i,j?k时，k列阵。 9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。 10. 设Ux?d，其中U为三角矩阵。 (a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组Ux?d的乘除法次数。 (c) 设U为非奇异阵，试推导求U?1的计算公式。 ?1T11. 证明（a）如果A是对称正定阵，则A也是正定阵； （b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成A?LL,其中L是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A的逆阵： ?21?3?1??310?7?A????124?2???10?15?? 13. 用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中 14. 用改进的平方根法解方程组 ?2?1000??1???12?100??0?????A??0?12?10?,b??0?????00?12?1???0????000?12???0?? ?2?11??x1??4???1?23??x???5?.???2????31??1???x3????6?? 15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么 分解是否唯一？ 16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组 ?123??111??126??,B??221?,C??2515?.A??241??????????467???331???61546?? ?034??x1??1??1?11??x???2????2?????212????x3????3??. a?0(|i?j|?t)，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分 17. 如果方阵A 有ij解条件，试推导A?LU的计算公式，对r?1,2,?,n. uri?ari?1） rkkik?max(1,i?t)?lr?1r?1u (i?r,r?1,?,min(n,r?t))； (i?r?1,?,min(n,r?t)). lir?(air?2）18. 设 ikkrk?max(1,i?t)?lu)/urr?0.60.5?A????0.10.3?，