2019高考北师版(理)数学一轮复习讲义: 第3章 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数 下载本文

第五节 两角和与差及二倍角的三角函数

[考纲传真] (教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).

(对应学生用书第57页)

[基础知识填充]

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β; (3)tan(α±β)=

tan α±tan β

. 1?tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α=2sin αcos α;

(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)tan 2α=2tan α. 1-tan2α3.有关公式的变形、逆用

(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β); (2)cos2α=

1+cos 2α1-cos 2αsin 2α2

,sinα=,sin αcos α=222;

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, ?π?

?. sin α±cos α=2sin?α±?4?[知识拓展] 1.辅助角公式

b??

asin α+bcos α=a2+b2sin(α+φ)?其中tan φ=a?.

??

6-26+2

2.sin 15°=4,cos 15°=4,tan 15°=2-3. 1-cos ααsin α3.tan 2==sin α.

1+cos α1-tan2α2tan α

4.sin 2α=,cos 2α=. 1+tan2α1+tan2α

[基本能力自测]

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( ) (2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不确定.( ) (3)公式tan(α+β)=

tan α+tan β

可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-

1-tan αtan β

tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( ) (4)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )

3

A.-2 1C.-2

3B.2 1D.2

D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°1+10°)=sin 30°=2,故选D.]

43.(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α-cos α=3,则sin 2α=( )

7

A.-9 2C.9

4

A [∵sin α-cos α=3,

16

∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=9, 7

∴sin 2α=-9.故选A.]

2B.-9 7D.9

4.函数 f(x)=3sin x+cos x的最小值为________. ?π?-2 [函数f(x)=2sin?x+6?的最小值是-2.]

??

5.若锐角α,β满足tan α+tan β=3-3tan αtan β,则α+β=________. tan α+tan βπ

[由已知可得=3,即tan(α+β)=3.又α+β∈(0,π),所以31-tan αtan βπα+β=3.]

(对应学生用书第58页)

2

(1)(2017·山西长治二中等五校第四次联考)若cos θ=3,θ为第四象限角,?π?

则cos?θ+4?的值为( )

??A.C.

2+10

62-10

6

B.

22+10

622-10

6

三角公式的基本应用 D.

4

(2)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若锐角α,β满足sin α=5,tan(α2

-β)=3,则tan β=________.

625?π?

(1)B (2)17 [(1)因为cos θ=3,θ为第四象限角,则sin θ=-3,故cos?θ+4?

??222?25?22+10

?=2cos θ-2sin θ=2×+?=,故选B.

6?33?

43sin α

(2)因为锐角α满足sin α=5,所以cos α=1-sin2α=5,则tan α=cos α=42

-tan α-tan?α-β?3364

3,tan β=tan[α-(α-β)]=1+tan αtan?α-β?=8=17.] 1+9