?C1N//CM，

QC1N?平面ACM，CM平面ACM， 11?C1N//平面ACM． 1（2）当点M是AB中点时，使得AB1?平面ACM． 1证明如下：

Q在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AB?2，AA1?2，

点N为A1B1中点，点M是AB中点，

?AA1?CM，AB?CM，

QAA1?AB?A，?CM?平面AA1B1B， QA1M?平面AA1B1B，?A1M?CM，

QAM?12?(2)2?3，AB?22?(2)2?6，

11?A1MAA1?，?△AA1M∽?BAB1， AB1AB??AA1M??BAB1，?AMA1??AB1B，

?AB1?A1M，

QA1M?CM?M，?AB1?平面ACM． 1【点睛】

本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,6)，圆C:x2?y2?10x?10y?0. （1）求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准方程； （2）过点P的直线l与圆C依次相交于A，B两点. ①若AO?PB，求l的方程；

②当VABC面积最大时，求直线l的方程.

①8x?5y?30?0；②x?0或y?(x?3)?(y?3)?18；【答案】（1）（2）

2248x?6． 55【解析】（1）设所求圆的圆心为C1，而所求圆的圆心与C、O共线，故圆心C1在直线

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y?x上，又圆C1同时经过点O与点P(0,6)，求出圆C1的圆心和半径，即可得答案；

（2）①由题意可得OB为圆C的直径，求出B的坐标，可得直线l的方程；

②当直线l的斜率不存在时，直线方程为x?0，求出A，B的坐标，得到?ABC的面积；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y?kx?6．利用基本不等式、点到直线的距离公式求得k，则直线方程可求． 【详解】

2222（1）由x?y?10x?10y?0，得(x?5)?(y?5)?50，

?圆C的圆心坐标(?5,?5)，设所求圆的圆心为C1．

而所求圆的圆心与C、O共线，故圆心C1在直线y?x上， 又圆C1同时经过点O与点P(0,6)，

?圆心C1又在直线y?3上，则有：??x?3?y?x ，解得：?，即圆心C1的坐标为(3,3)，

y?3y?3??又|OC1|?32?32?32，即半径r?32， 故所求圆C1的方程为(x?3)?(y?3)?18；

（2）①由AO?PB，得OB为圆C的直径，则OB过点C，OB的方程为y?x，

22?y?x联立?，解得B(?10,?10)， 22?(x?5)?(y?5)?50?直线l的斜率k??10?68?，

?10?058则直线l的方程为y?x?6，即8x?5y?30?0；

5②当直线l的斜率不存在时，直线方程为x?0，此时A(0,0)，B(0,?10)，C(?5,?5)，

1S?ABC??10?5?25；

2当直线l的斜率存在时，设直线方程为y?kx?6．

再设直线被圆所截弦长为2a，则圆心到直线的距离d?50?a2， 则S?ABC1a2?50?a22222?g2ag50?a?a(50?a)?()?25． 22当且仅当a2?50?a2，即a?5时等号成立． 此时弦长为10，圆心到直线的距离为5，由|?5k?5?6|1?k2?5，解得k?48．

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直线方程为y?48x?6． 5548x?6． 55?当?ABC面积最大时，所求直线l的方程为：x?0或y?【点睛】

本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，B(10,0)，C(11,3)，D(10,6).

（1）①证明：cos?ABC?cos?ADC?0；

②证明：存在点P使得PA?PB?PC?PD.并求出P的坐标；

（2）过C点的直线l将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.

【答案】（1）①见解析；②见解析，(6,3)；（2）(143,). 55【解析】（1）①利用夹角公式可得cos?ABC?cos?ADC?0；②由条件知点P为四边形ABCD外接圆的圆心，根据ABgBC?0，可得AB?BC，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，然后求出点P的坐标；

uuuruuuruuuruuur?10?x?9(x?2)(x,y)（2）根据条件可得ED?9AE，然后设E的坐标为，根据?，

6?y?9y?可得E的坐标． 【详解】

（1）①QA(2,0)，B(10,0)，C(11,3)，D(10,6)，

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uuuruuuruuuruuur?BA?(?8,0)，BC?(1,3)，DA?(?8,?6)，DC?(1,?3)，

uuuruuurBAgBC?810?cos?ABC?uuuuruuuuur???，

10|BA||BC|810uuuruuurDAgDC1010ruuuuur?cos?ADC?uuuuu?，

10|DA||DC|1010?cos?ABC?cos?ADC?0；

②由PA?PB?PC?PD知，点P为四边形ABCD外接圆的圆心，

uuuruuuruuuruuurQAB?(8,0)，BC?(0,6)，?ABgBC?0，

?AB?BC，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，

?点P的坐标为(6,3)；

（2）由两点间的距离公式可得，AB?8，BC?CD?10，AD?10，

Q过C点的直线l将四边形ABCD分成周长相等的两部分，

uuuruuur?ED?9AE，

设E的坐标为(x,y)，则ED?(10?x,6?y)，AE?(x?2,y)，

uuuruuur14?x???10?x?9(x?2)?5??，??，

36?y?9y??y??5?143?点E的坐标为(,)．

55【点睛】

本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

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