?C1N//CM,
QC1N?平面ACM,CM平面ACM, 11?C1N//平面ACM. 1(2)当点M是AB中点时,使得AB1?平面ACM. 1证明如下:
Q在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC?BC,AB?2,AA1?2,
点N为A1B1中点,点M是AB中点,
?AA1?CM,AB?CM,
QAA1?AB?A,?CM?平面AA1B1B, QA1M?平面AA1B1B,?A1M?CM,
QAM?12?(2)2?3,AB?22?(2)2?6,
11?A1MAA1?,?△AA1M∽?BAB1, AB1AB??AA1M??BAB1,?AMA1??AB1B,
?AB1?A1M,
QA1M?CM?M,?AB1?平面ACM. 1【点睛】
本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
21.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(0,6),圆C:x2?y2?10x?10y?0. (1)求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准方程; (2)过点P的直线l与圆C依次相交于A,B两点. ①若AO?PB,求l的方程;
②当VABC面积最大时,求直线l的方程.
①8x?5y?30?0;②x?0或y?(x?3)?(y?3)?18;【答案】(1)(2)
2248x?6. 55【解析】(1)设所求圆的圆心为C1,而所求圆的圆心与C、O共线,故圆心C1在直线
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y?x上,又圆C1同时经过点O与点P(0,6),求出圆C1的圆心和半径,即可得答案;
(2)①由题意可得OB为圆C的直径,求出B的坐标,可得直线l的方程;
②当直线l的斜率不存在时,直线方程为x?0,求出A,B的坐标,得到?ABC的面积;当直线l的斜率存在时,设直线方程为y?kx?6.利用基本不等式、点到直线的距离公式求得k,则直线方程可求. 【详解】
2222(1)由x?y?10x?10y?0,得(x?5)?(y?5)?50,
?圆C的圆心坐标(?5,?5),设所求圆的圆心为C1.
而所求圆的圆心与C、O共线,故圆心C1在直线y?x上, 又圆C1同时经过点O与点P(0,6),
?圆心C1又在直线y?3上,则有:??x?3?y?x ,解得:?,即圆心C1的坐标为(3,3),
y?3y?3??又|OC1|?32?32?32,即半径r?32, 故所求圆C1的方程为(x?3)?(y?3)?18;
(2)①由AO?PB,得OB为圆C的直径,则OB过点C,OB的方程为y?x,
22?y?x联立?,解得B(?10,?10), 22?(x?5)?(y?5)?50?直线l的斜率k??10?68?,
?10?058则直线l的方程为y?x?6,即8x?5y?30?0;
5②当直线l的斜率不存在时,直线方程为x?0,此时A(0,0),B(0,?10),C(?5,?5),
1S?ABC??10?5?25;
2当直线l的斜率存在时,设直线方程为y?kx?6.
再设直线被圆所截弦长为2a,则圆心到直线的距离d?50?a2, 则S?ABC1a2?50?a22222?g2ag50?a?a(50?a)?()?25. 22当且仅当a2?50?a2,即a?5时等号成立. 此时弦长为10,圆心到直线的距离为5,由|?5k?5?6|1?k2?5,解得k?48.
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直线方程为y?48x?6. 5548x?6. 55?当?ABC面积最大时,所求直线l的方程为:x?0或y?【点睛】
本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 22.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,0),B(10,0),C(11,3),D(10,6).
(1)①证明:cos?ABC?cos?ADC?0;
②证明:存在点P使得PA?PB?PC?PD.并求出P的坐标;
(2)过C点的直线l将四边形ABCD分成周长相等的两部分,产生的另一个交点为E,求点E的坐标.
【答案】(1)①见解析;②见解析,(6,3);(2)(143,). 55【解析】(1)①利用夹角公式可得cos?ABC?cos?ADC?0;②由条件知点P为四边形ABCD外接圆的圆心,根据ABgBC?0,可得AB?BC,四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点,然后求出点P的坐标;
uuuruuuruuuruuur?10?x?9(x?2)(x,y)(2)根据条件可得ED?9AE,然后设E的坐标为,根据?,
6?y?9y?可得E的坐标. 【详解】
(1)①QA(2,0),B(10,0),C(11,3),D(10,6),
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uuuruuuruuuruuur?BA?(?8,0),BC?(1,3),DA?(?8,?6),DC?(1,?3),
uuuruuurBAgBC?810?cos?ABC?uuuuruuuuur???,
10|BA||BC|810uuuruuurDAgDC1010ruuuuur?cos?ADC?uuuuu?,
10|DA||DC|1010?cos?ABC?cos?ADC?0;
②由PA?PB?PC?PD知,点P为四边形ABCD外接圆的圆心,
uuuruuuruuuruuurQAB?(8,0),BC?(0,6),?ABgBC?0,
?AB?BC,四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点,
?点P的坐标为(6,3);
(2)由两点间的距离公式可得,AB?8,BC?CD?10,AD?10,
Q过C点的直线l将四边形ABCD分成周长相等的两部分,
uuuruuur?ED?9AE,
设E的坐标为(x,y),则ED?(10?x,6?y),AE?(x?2,y),
uuuruuur14?x???10?x?9(x?2)?5??,??,
36?y?9y??y??5?143?点E的坐标为(,).
55【点睛】
本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
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