习题 12.1
1. 判断下列方程是几阶微分方程:
2dy(1)?x2?y; dx3
dy?dy?(2)x???2?4x?0;
dx?dx?d2y?dy?(3)x2?2???5xy?0; (4)xy???2x2(y?)3?x3y?x4?1.
dx?dx?解 (1)
(3)
是一阶线性微分方程; (2)是一阶非线性微分方程; 是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.
2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
（1）xy??2y，y?5x2； （2）y???y?0，y?3sinx?4cosx； （3）y???2y??y?0，y?x2ex； （4）xy???x(y?)2?yy??0，y?x． 解 (1)
是; (2)
是; (3)
不是; (4)
不是二阶非线性微分方程.
3. 验证函数y?(x2?C)sinx(C为任意常数)是方程
dy?ycotx?2xsinx?0 dx的通解, 并求满足初始条件y|x??2?0的特解.
解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将y?(x2?C)sinx求一阶导数,得
dy?2xsinx?(x2?C)cosx, dx把y和
dy代入方程左边得 dxdy?ycotx?2xsinx?2xsinx?(x2?C)cosx?(x2?C)sinxcotx?2xsinx?0. dx因方程两边恒等,且y中含有一个任意常数,故y?(x2?C)sinx是题设方程的通解. 将初始条件yx???0代入通解y?(x2?C)sinx中，
2得0??24?C C???24.
?2?2??x. 从而所求特解为 y???x?4?sin??4．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.
(1) 一曲线通过原点，并且它在(x,y)处的切线斜率等于2x?y; (2) 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分.
解：由题意，
y??2x?y，yx?0?0
解：设该曲线的方程为
y?f(x)，(x,y)为其上任意一点，该点处的切线斜率为y?，过该点的切线方程为
Y?y?y?(X?x)。
令
X?0，解得切线的纵截距Y?y?xy?，由题意，2y?Y，则得该曲线满足的微分方程：
x?2?xy??y以及初值条件y?3。
习 题 12-2
1．求下列微分方程的通解：
dy1?y2x?y（1）； ?10； （2）y??2dx1?xdyx?y?ex?dx??ex?y?ey?dy?0； （4）（3）?e?y2cosx;
dx答案
1．(1) 10?y?10x?C； (2)； arcsiyn?arcsixn?C (3) (e?1)(e?1)?C； (4) y??2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）(1?x)y??arctanx,y|x?0?0； （2）cosxsinydy?cosysinxdx，y|x?0?（3）(x?4)y??2xy,y|x?0?1; （4）cosydx?1?e（5）y?3x（6）y??2xy11?aln(1?a?x)?C；
sinx?Cy2?4；
?22??sinydy?0，y|??；
4?dy?2xydx?0，y|?1；
?xx?0x?0xy?，y|x?1?2； yx1答案:(1) y?(arctanx)2 ； (2)cosx?(2cosy)?0；
2(3) y??(x2?4)； (4) e?1?22cosy；
1x4(5) x2?y2?y3?0； (6) y2?2x2(lnx?2)；
3. 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律.
答案: (物体冷却的数学模型)
dT??k(T?20). dt4. 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. (水从孔口流出的流量为Q＝dV?0.62?S截面?2gh) dt答案: t??4.652g(7?105?103h3?3h5).
5. 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少? 答案: 故6分钟后，车间内CO2的百分比降低到0.056%.
习题12-3
1．求下列微分方程的通解： （1）y??ycosx?e（3）
?sinx； （2）y'?ytanx?sin2x；
（5）?x?2?y??y?2?x?2?；（6）y3dx?(2xy2?1)dy?0；
3ds1?scost?sin2t； （4）y??2xy?4x； dt2?sinx答案 ：(1) y?(x?C)e；(2) y?Ccosx?2cosx；
?x22 (3) s?Ce?sint?sint?1； (4) y?2?Ce；
1 (5) y?(x?2)3?C(x?2);（6）x?2(ln|y|?C)
y2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y'?2y?e?x，y|x?0?x5； 4
2?3x2y?1 y|x?1?0； （2）y??x3（3）y??ytanx?secx，y|x?0?0； ysinx，y|x???1； ?xxcosx（5）y??ycotx?5e，y|???4；
（4）y??x?2x?e
（6）xlnxdy?(y?lnx)dx?0, y答案 (1) y?2e2x?1.
1?1x133x2x； ?e??； (2) 2y?x?xe24(3) y?xsecx； (4) y?(5) ysinx?5e
3求解方程
cosx1(??1?cosx)； x1??. lnx??1； （6）y??lnx?1?2?dyd?d??y??(x), ?(x)是x的已知函数. dxdxdxd?d?,Q(x)??(x), dxdx解 原方程实际上是标准的线性方程，其中P(x)?直接代入通解公式，得通解
d?d??dx?d??dxdx?dx?(x)edx?C???e??(x)[??(x)e?(x)d??C]??(x)?1?Ce??(x). y?e????dx??4. 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动. 设力F仅是时间t的函数: F?F(t). 在开始时刻t?0时F(0)?F0, 随着时间t的增大, 此力F均匀的减少, 直到t?T时, F(T)?0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.
解 设在时刻t质点的位置为x?x(t),由牛顿第二定律，得质点运动的微分方程
d2xm2?F(t) (1) dt由题设, F(t)随t增大而均匀地减少,F(0)?F0?F(t)?F0?kt. 又F(T)?0?F(t)?F0(1?t/T).
d2xF0t于是方程(1)可以写成 2?F(t)(1?) (2)
mTdt其初始条件为xt?0?0,dx?0. dtt?0在方程(2)式两端积分,得
F0?dxF0?t?t2??t???C1. ??1??dt??dtm?T?m?2T???代入初始条件
dx?0,得C1?0,于是 dtt?0F0?t2t3?dxF0?t2??t???x???????26T??C2, dtm?2Tm????将条件xt?0?0,代入上式,得C2?0.于是所求质点的运动规律
Fx?0m?t2t3?????26T?,0?t?T. ??5 求
dy4?y?x2y的通解. dxx1dy4?y?x2, ydxx解 两端除以y,得
令z?y,得2dz4?x??z?x2,解得z?x2??C?, dxx?2?4?2x?故所求通解为y?x??C?.
?2?
6求方程
dyy??(alnx)y2的通解. dxx解 以y2除方程的两端,得
d(y?1)1?1dy1?1?y?alnx, y?y?alnx,即 ?dxxdxxdz1令z?y?1,则上述方程变为 ?z??alnx.
dxxa??解此线性微分方程得 z?x?C?(lnx)2?.
2???2a??以y?1代z,得所求通解为 yx?C?(lnx)2??1.
2??
习题12-4
1? 判别下列方程中哪些是全微分方程? 并求全微分方程的通解? (1) (x?y)dx?xdy?0;
(2) (xcosy?cosx)y'?ysinx?siny?0; (3) edx?(xe?2y)dy?0;
yy2y2?3x22xdy?0； (4) 3dx?yy4(5)y(x?2y)dx?x2dy?0? (6)(x2?y2)dx?xydy?0? 答案: (1) (x2?y)dx?xdy?0? 解 这里P?x2?y? Q??x ? 因为
?P??1??Q?x? ?y所以此方程是全微分方程? 其通解为
?C?0xdx??0xdy? 即
x2y1x3?xy?C 3?
(2) (xcos y?cos x)y??ysin x?sin y?0?
解 原方程变形为(xcos y?cos x)dy?(ysin x?sin y)dx?0? 这里P??(ysin x?sin y)? Q?xcos y?cos x? 因为
?Q?P?coys?sinx??x? ?y所以此方程是全微分方程? 其通解为