y2

*′

＝Ccos2x＋Dsin2x－2Cx sin2x＋2Dx cos2x．

y2

*″

＝-4Csin2x＋4Dcos2x－4Cx cos2x－4Dx sin2x．

* *′*″*将y2y2y2代入y″＋4y＝1/2 cos2x． 比较两边同次幂系数． 得:C＝0 D＝1/8 所以y2＝x/8 sin2x．所以

y＝C1cos2x＋C2sin2x＋x/8＋x/8 sin2x (1)

为原方程的通解．

为求满足y′(0)＝y(0)＝0的特解．对通解两边求导． 得:

y′＝－2C1sin2x＋2C2cos2x＋1/8＋1/8 sin2x＋x/4 cos2x (2)

将y(0)＝0代入(1), y′(0)＝0代入(2)． 得: 0＝C1 0＝2C2＋1/8 得: C1＝0 C2＝－1/16．所以y＝－1/16 sin2x＋1/8 x(1＋sin2x) 为可求．

说明 求满足初始条件的特解时,应先求出该方程的通解．然后依据初始条件求出特解．在特解的表达式中,不应含有任意常数．

5.设函数y(x)满足

y?(x)?1?[6sin2t?y(t)]dt,y(0)?1,

0?x求y(x).

解 将方程两端对x求导，得微分方程 y???y?6sin2x,即y???y?3(1?cos2x), 特征方程为r2?1?0,特征根为r1?i,r2??i,对应齐次方程的通解为Y?C1cosx?C2sinx, 注意到方程的右端f(x)?3?3cos2x?f1(x)?f2(x),且??i???2i不是特征根，根据非齐次方程解的叠加原理，可设特解

**y*?y1?y2?a?bcos2x?csin2x,

代入方程定出a?3,b?1,c?0,从而原方程的通解为

y?C1cosx?C2sinx?cos2x?3.

又在原方程的两端令x?0,得

y?(0)?1,y(0)?1,y?(0)?1,又在原方程的两端令x?0,得y?(0)?1,y(0)?1,y?(0)?1, 定出C1??3,C2?1,从而所求函数为

y(x)?sinx?3cosx?cos2x?3.

6. 已知函数y?e2x?(x?1)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程

y???ay??by?cex的一个特解, 试确定常数a,b与c及该方程的通解.

解法1 将y?e2x?(x?1)ex代入原方程得 (4?2a?b)e2x?(3?2a?b)ex?(1?a?b)xex?cex,

比较两边同类项系数，得方程组 4?2a?b?0,3?2a?b?c,1?a?b?0. 解此方程组,得a??3,b?2,c??1,

于是原方程为y???3y??2y??ex,其通解为y?C1e2x?C2ex?xex.

解法2 将已知方程的特解改写为y?e2x?ex?xex,

因对应齐次方程的解应是erx型的,如e2x是对应齐次方程的解, ex也可能是，因原方程的自由项是Cex,而xex或(x?1)ex是原非齐次方程的解,故ex也是对应齐次方程的解(即r?1也是特征方程的

根).故原方程所对应的齐次方程的特征方程为

(r?2)(r?1)?0,即r2?3r?2?0,

于是得a??3,b?2.将y*?xex代入方程y???3y??2y?Cex得

(x?2)ex?3(x?1)ex?2xex?Cex,

原方程的通解为 y?C1e2x?C2ex?xex.

7. 求欧拉方程x2y???xy??6lnx?1的通解. x解 作变量替换x?et或t?lnx,则题设方程化为

d2yD(D?1)y?Dy?6t?e,即2?6t?e?t.

dt?t两次积分，可求得其通解为y?C1?C2t?t3?e?t.

1代回原来变量，得原方程的通解y?C1?C2lnx?(lnx)3?.

x8. 求欧拉方程x3y????x2y???4xy??3x2的通解. 解 作变量变换x?et或t?lnx,原方程化为

D(D?1)(D?2)y?D(D?1)y?4Dy?3e2t,

d3yd2ydy即Dy?2Dy?3Dy?3e 或3?22?3?3e2t. (1)

dtdtdt322t方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 r3?2r2?3r?0,

求得特征根r1?0,r2??1,r3?3,故所以齐次方程的通解

Y?C1?C2e?t?C3e3t?C1?2tC2?C3x3. xx21设特解y*?be?bx,代入原方程得b??,即y*??,故所求欧拉方程的通解为

22C1y?C1?2?C3x3?x2.

x29. 设有方程

2 (1?x)y??[2y?(1?x)0x2y??]dx?ln(1?x),(x?0),y?(0)?0,

求由此方程所确定的函数y(x). 解 将方程两边对x求导，整理后得 (1?x)2y???(1?x)y??y?1,且有y(0)?0,y?(0)?0, 1?x这是欧拉方程,令1?x?et或t?ln(1?x),将它化为常系数非齐次线性微分方程

d2ydy?t?2?y?e, 2dtdt1其通解为y?(C1?C2t)et?e?t,故原方程的通解为

4y?[C1?C2ln(1?x)](1?x)?1,

4(1?x)由初始条件y(0)?0,y?(0)?0,可求得

11C1??,C2?,

24故由题设方程确定的函数为

1?11?y????ln(1?x)?(1?x)?.

424(1?x)??

本章复习题A

1. 填空题.

（1）微分方程xy???2x(y?)?xy?x?1是____二_______阶微分方程; （2）微分方程xdy+(3xy-y)dx=0的通解为 y?Cxe2

2334?3?1x ;

（3）一曲线过点（e,1），且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率为

?xlnx，则此曲线方程为

x?ylnxy?x?xln(lnx ) ; e（4）设二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为r1?1?2i,r2?1?2i，则该二阶常系

数齐次线性微分方程为___y''?2y'?5y?0___；

（5）微分方程y''?2y'?y?xe的特解可设为形如y*(x)=__(Ax?B)xe______. 2. 选择题.

（1）下列微分方程是线性微分方程的是（ A ）

（A） y??y?0 （B） y??ycosy?x （C）y??xy?x （D） y??cosy?y?x （2） 满足方程

（A）Cx23?x2?x?10f(tx)dt?nf(x)(n为大于1的自然数)的可导函数f(x)为(A) .

1?n （B）C(C为常数） （C） Csinnx （D）Ccosnx n（3）方程ydx?(y?2x)dy?0 （C ）

A 可化为齐次方程 B 可化为线性方程 C A、B都可化 D A、B都不可化 （4）xy?(x?y)y'?0是(B )

A 可分离变量的微分方程 B 一阶齐次微分方程

C 一阶齐次线性微分方程 D 一阶非齐次线性微分方程

（5）若y1(x)与y2(x)是某个二阶齐次线性方程的解,则 c1y1(x)?c2y2(x) ( c1、c2为任意常数)必是该方程的（C ）

A 通解 B 特解 C 解 D 全部解 3. 求下列微分方程的通解.

（1）xy'?(1?x)y?e （2）(y?6x)y'?2y?0

2（3）xdy?(2xy?y)dx?0 （4）cosx22332x2dy?y?tanx dxdy?2xy?4x2 （6）xydy?dx?y2dx?ydy dxdy2(lnx?y)xx2（7）3etanydx?(1?e)secydy?0 （8） ?dxx（5）(x?1)2（9）(1?x)y??2e答案（1）y??y?1； （10）xy??y?2xy；

11x； (Cex?e2x); （2）x?y2?Cy3 （3）y?22x?Cx43x?C?tanx（4）y?tanx?1?Ce（5）y?32 （6）y2?1?C(x?1)2

x?11Cx?1x3（7）tany?C(1?e) （8）y?lnx??2（9）(1?x)e?2x?C；

2x（10）x?xy?C

4. 求下列高阶微分方程的通解.

（1）y????e2x?x； （2）y???21y??xex； x2x（3）y???1?y? （4）y???4y??8y?e答案（1）y?sin2x

C12x14C12e?x?x?C2x?C3； （2）y?xex?ex?1x2?C2 824222x （3）y??ln|cos(x?C1)|?C2 （4）y?e(C1cosx?C2sinx)?5. 求下列微分方程满足初始条件的特解. （1）xy12xxecos2x 4dy?x2?y2,y|z?e?2e； dxx?0（2）y???2y??3y?0， y（3）y???y??sin2x,（4）y???y??2y?2x,22?1， y?x?0?1；

yx???1,y?x???1；

yx?0?0,y?x?0?3．

?x答案（1）y?2x(lnx?1) （2）y?e （3）y??cosx?1(cos2x?2sin2x)

75111sinx?sin2x （4）y?e?2x?ex?x?．

632336. 设f(x)?C(0,??),对任意的x?(0,??)满足x且f(1)?0,求f(x)。 答案：f(x)??10f(tx)dt?2?f(t)dt?xf(x)?x3,

0x31(2?x2) 4x7. 位于坐标原点的我舰向位于Ox轴上距原点1个单位的A点处的敌舰发射制导鱼雷，且鱼雷永远对准敌舰，设敌舰以最大速度V0到于Oy轴的直线行驶，又设鱼雷的速度是敌舰的5倍，求鱼雷的轨迹曲线及敌舰行驶多远时，将被鱼雷击中？

答案： 作出草图，设鱼雷的轨迹曲线是y?y(x)，经过时间t，鱼雷位于P(x,y)，敌舰位于

Q?1,V0t?由于鱼雷始终对准敌舰，故有

y??

V0t?y ① 1?x又鱼雷的速度是敌舰速度的5倍，故有

OP??即 V0t?x01?y?2dx?5V0t

1x2?1?ydx ② ?05由①?V0t?y?(1?x)y?，代入②式有