高等数学第12章课后习题答案(科学出版社) 下载本文

xn 记S(x)??,其收敛域为[?1,1),当x?(?1,1)时,有

nn?1?1,则S(x)??ln(1?x) S'(x)??xn?1?1?xn?1?(?1)n当x??1时,???ln2,所以

nn?1?当?1?x?1时,

?n?1?xnfn(x)?e??exS(x)??exln(1?x)

n?1nx?2x5.(00年、数学三、计算题) 求微分方程y\?2y'?e?0满足条件y(0)?1,y'(0)?1的解。

解 令y'?u,则y\?u',原方程可化为u为未知函数的一阶线性非齐次方程

u'?2u?e2x

解之,得

y'?u?e?在上式两边积分,得

2dx?2dx[?e2xe?dx?c1]?xe2x?c1e2x

2x2x1y?1?(1?c2 2xe2c1?4)e将初始条件y(0)?1,y'(0)?1代入,得c1?1,c2?34。因此所求特解为

2x2xy?1?1?32xe4e4

6.(02年、数学三、计算题)

x3x6x9????满足微分方程y\?y'?y?ex; (1)验证函数y(x)?1?3!6!9!?x3n (2)利用(1)的结果求幂级数?的和函数。

(3n)!n?0

(1)证明 因

?x3x6x9x3ny(x)?1???????

3!6!9!(3n)!n?0?x2x5x8x3n?1y'(x)???????

2!5!8!(3n?1)!n?1?xx4x7x3n?2y\(x)???????

1!4!7!(3n?2)!n?1所以

?xx2x3x4x5xny\?y'?y?1??????????ex

1!2!3!4!5!n?0n! (2)解 解特征方程????1?0,得二特征根为?1,2??的通解为

213?i,因此对应齐次方程22?33?yc?e?c1cosx?c2sinx?

22??y?Aex为方程的一特解,A为待定常数。将其代入原方程可得A?1/3 令~?1x2,因此方程的通解为

?33?1xccosx?csinx??e,c1,c2为任意常数。 ?1222?3?2将初始条件y(0)?1,y'(0)?0代入上式中,得c1?,c2?0。

3?x3n 所以幂级数?的和函数为

n?0(3n)!y?e?1x2x3n2?131xx2(???x???) ?ecosx?e,?(3n)!323n?0?