xn 记S(x)??，其收敛域为[?1,1)，当x?(?1,1)时，有

nn?1?1，则S(x)??ln(1?x) S'(x)??xn?1?1?xn?1?(?1)n当x??1时，???ln2，所以

nn?1?当?1?x?1时，

?n?1?xnfn(x)?e??exS(x)??exln(1?x)

n?1nx?2x5．（00年、数学三、计算题） 求微分方程y\?2y'?e?0满足条件y(0)?1,y'(0)?1的解。

解 令y'?u，则y\?u'，原方程可化为u为未知函数的一阶线性非齐次方程

u'?2u?e2x

解之，得

y'?u?e?在上式两边积分，得

2dx?2dx[?e2xe?dx?c1]?xe2x?c1e2x

2x2x1y?1?(1?c2 2xe2c1?4)e将初始条件y(0)?1,y'(0)?1代入，得c1?1,c2?34。因此所求特解为

2x2xy?1?1?32xe4e4

6．（02年、数学三、计算题）

x3x6x9????满足微分方程y\?y'?y?ex； （1）验证函数y(x)?1?3!6!9!?x3n （2）利用（1）的结果求幂级数?的和函数。

(3n)!n?0

（1）证明 因

?x3x6x9x3ny(x)?1???????

3!6!9!(3n)!n?0?x2x5x8x3n?1y'(x)???????

2!5!8!(3n?1)!n?1?xx4x7x3n?2y\(x)???????

1!4!7!(3n?2)!n?1所以

?xx2x3x4x5xny\?y'?y?1??????????ex

1!2!3!4!5!n?0n! （2）解 解特征方程????1?0，得二特征根为?1,2??的通解为

213?i，因此对应齐次方程22?33?yc?e?c1cosx?c2sinx?

22??y?Aex为方程的一特解，A为待定常数。将其代入原方程可得A?1/3 令~?1x2，因此方程的通解为

?33?1xccosx?csinx??e，c1,c2为任意常数。 ?1222?3?2将初始条件y(0)?1,y'(0)?0代入上式中，得c1?,c2?0。

3?x3n 所以幂级数?的和函数为

n?0(3n)!y?e?1x2x3n2?131xx2（???x???） ?ecosx?e，?(3n)!323n?0?