数学必修4平面向量复习

一基本概念:

1.向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 零向量：长度为0的向量．

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2.单位向量：是模（长度）为1的向量，若其坐标为(x，y)，其中x，y满足x+y=1 ?

???3.平行向量a?b（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行，0?a． 当??0时，?a?0．

?????????⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b．

????⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?．

平面向量的数量积：

??1．向量的夹角：向量a和b，作OA=a，OB=b，则?AOB=? (0????180?)叫做向量a和b的夹角．

??????????2. 数量积：⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0．

????坐标运算：设两个非零向量a??x,y?，b??x,y?，则a?b?xx?yy．

??4.相等向量：长度相等且方向相同的向量． 5．向量的坐标

i、j是与x轴、y轴方向相同的单位向量，若a=OA=xi+yj，则A(x，y)叫做向量a的坐标， 记作a=OA =(x，y)． 二、向量运算： 向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a?

?b??a??b??a??b?．

⑷运算性质：①交换律：a??b??b??a?；②结合律：?a??b???c??a???b??c??；③a???0??0???

⑸坐标运算：设a?a???x?a． ??1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．

向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． C

a?

?

b?

?

a??b??????C?????????????C?

⑵坐标运算：设a???x???1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?，?x?????x1?????x2,???y1??y2?．

设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?2,y2?，则???O??O???x1?x2,y1?y2?． 注意：正反思维：??????????BC?????AC? 反之???AC????????????BC?????C?????????????C?反之????C?????AC??????B? 向量数乘运算：

⑴实数?与向量a?的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a?．①?a???a?

；

②当??0时，?a?的方向与a?的方向相同；当??0时，?a?的方向与a?的方向相反；

1122121即a??b??a?b?2cos??x1x2?y1y2

3性质：设a?和b?都是非零向量，则①当a?与b?同向时即θ=0°，a?

?b??a?b?； 当a?与b?反向时即θ=180°，a??b???a?b?；

⑶a??a??a?2?a?2或a??a??a??a?2． ③a??b??a?b?． a???b2?(a??b?)2?a?2?2a??b??b?2;a???b?(a??b?)2?a?2?2a??b??b?2

4运算律：①a??b??b??a?；②??a???b????a??b???a????b??；③?a??b???c??a??c??b??c?．

5.特别注意：①向量的投影：向量b在a方向上的投影是：|b|cos?

②当?为锐角时，a??b??0且a?与b?不同向；当????当????为钝角时，a?b?0且a与b不反向；

=90?时，a?b?0

③数量积不适合乘法结合律如(a?b)?c?a?(b?c) (∵(a?b)?c与c共线，而a?(b?c)与a共线)． ④．数量积的消去律不成立若??a、b?、??c是非零向量且a?c=b?c，并不能得到a=b． 三、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，a?有且只有一对实数1．不共线的向量?e??、?a????????那么对于这一平面内的任意向量，12，使1e1??2e2． 、?e??12作为这一平面内所有向量的一组基底 2、分点坐标求法：设点?是线段??x????????1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是1,y1?，?x2,y2?，当?,y1?????2时，求点P的坐标的方法：设P的坐标为??x?

则?x?x1,y?y1???x2?x,y2?y??(??x2?x),?(y2?y?)

?x??x?x?x∴??x?x??(x212?x)??x?11?? 当x?12?y?yy)???1时， P??2 1??(y2??1P2中点坐标公式???y?y1??y2?y?y1?y2??1????2四、向量的应用：

（一）求长度 ①若a???x,y?，则a?2?x2?y2，或a??x2?y2 ②两点间的距离：若A?x????1,y1?，B?x2,y2?，AB?(x2?x1,y2?y1),AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 （二）证垂直：向量垂直的条件：a??b??a??b??0?x???b??a??b?1x2?y1y2?0；a?b?a?

（三）向量平行??(共线①向量a?a???0与b?)的充要条件：共线即a??b? ，存在唯一实数?，使b???a??x1y2?x2y1?0 ②三点???A?、B、???C?共线????????AB?????、???BC?共线?????????(xB????xA?)(yC????y?B)?(xC??????OB?xB)(yB??)????OC?yA)BC=?AB?OC?OB??(OB?OA)??????0???? ??OC???OA?(1

(四).求向量夹角：?是a?与b?的夹角，设a?、b都是非零向量，a???x?xOA?yOB且x?y?11,y1?，b??x2,y2?，

1??则cos??a??b??x1x2?y1y2．注意：?的范围：0????180?

abx2221?y21x2?y2五、基本定理、公式：

1、平面向量基本定理：若e???1与e2不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数?1、?2；使得a???1e1??2e2。

2、向量的模：a?＝a?a＝x2?y2；非零向量a?与b?的夹角：cos??a?bx1x2?y1y2

|a||b|?x22x221?y12?y23、向量平行：a?∥b??a??b?x??1y2?x2y1；向量垂直：a⊥b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式

1）O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0; 若O是?ABC的重心，则S?BOC?S1?AOC?S?AOB????3S?ABC,故;OA?OB?OC?0, PG??1????????????3(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心. 2）O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA; 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，

则S?BOC:S?AOC:S?AOB?tanA:tanB:tanC,故tanA?OA?tanB?OB?tanC?OC?0 3）O是?ABC的外心?OA?OB?OC(或OA2?OB2?OC2) 若O是?ABC的外心,

则S?BOC:S?AOC:S?AOB?sin?BOC:sin?AOC:sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 故sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC?0 4）O是内心?ABC的充要条件是OA?(AB?AC)??(BA?BC)??0ABACOBBABCOC?(CA?CB)CACB

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是?ABC内心的充要条件可以写成OA?(e1?e3)?OB?(e1?e2)?OC?(e2?e3)?0

O是?ABC内心的充要条件也可以是aOA?bOB?cOC?0

若O是?ABC的内心，则S?BOC:S?AOC:S?AOB?a:b:c

2

故aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0;

|???AB?|???PC??|???BC?|??PA???|??CA??|???PB???0?P?ABC的内心;

???向量?(AB?????|???AB?|?|???ACAC?|)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线)； 六、基础训练

（1）已知a?2,b?3，且a?b?4，则向量b?在向量a?上的投影为

（2）已知A（3（3）非零向量?，y）a和?，B（?5，2），C（6，?9）三点共线，则b满足：|?a|?|?b|?|?a??b|，则?a与?y=_________.

a??b的夹角等于 . 七、典例讲解 例1. 已知???.

AB???a?(1,2)，???BC???b?(?3,2)，???CD??(6,4)（1）证明：A,B,D三点共线.（时，① 向量ka??b?与?a?3?b平行 ② 向量ka??b?与?a?3?2）k为何值

b垂直

例2、平面内有向量???OA??（1，7），???OB??（5，1），???OP??（2，1），点Q为直线OP上一动点，1）求???Q?A??Q?B取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求cos?AQB的值。

例3. 已知向量?a?(sin?,1)，b??(1,cos?)，??(??,?（1）若?a?b? 求?的值。 （2）求?a??22)

b的最小值.（3）求函数y?f(?)=?a·?b的单调增区间

八、巩固练习

1．已知平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且?AP??=?PB???，x和?的值分别为( ) A．-7，2 B．5，2 C．-7，

225 D．5，5 2、向量a，b满足a?6，b?10，则a?b的取值范围是 ． 3、已知a?6，b?8，a?b?10，则a?b? ． 4、已知a?e1+e2，b?２e1－e2，则向量a+2b与2a－b（ ）

A、一定共线 B、一定不共线 C、仅当e1与e2共线时共线 D、仅当e1=e2时共线

5、已知?ABC顶点A（―1，?12），B（2，3）及重心坐标G（1，12），则顶点C的坐标为__________ 6．已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且??PA???2???OP?，又P是线段OB的中点，则

点B的坐标是 ??7、已知|a?|=|b|，a??b，且（a?+b?）?（ka??-b），则k的值是( )

A．1 B．-1 C．0 D．-2

8、已知?a?(1,2),?b?(1,1)，且?a与?a??b?的夹角为锐角，则实数?的取值范围为_____________________-

9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）,P为一动点，及OP?OA?tAB， （1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。

10、已知?a?1，?b?2，且?a与?b的夹角?为600（1）求?a??b，(?

a?2b?)2，?a?3?b （2）证明：?a?b?与?a垂直

3

????11、已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2） ?（1）若|c|=25?，且c‖a??，求c的坐标

（2）若|b?|=5????2，且a+2?与2a-b垂直，求?ba与b的夹角?.

12、已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，

（Ⅰ）判断???BP?????CQ?????AP?????CB?的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由； （Ⅱ）求???BP?????CQ?的最大值．

平 面 向 量 A 组

（1）如果a，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）

(A) a?b (B) a?b=1 (C) a2?b2 (D) a?b

（2）在四边形ABCD中，若???AC?????AB?????AD?，则四边形ABCD的形状一定是 ( )

(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形

（3）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（?3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（ ）

(A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）

（4）已知正方形ABCD的边长为1，???AB??a，???BC??b，???AC??c， 则a?b?c等于 ( )

(A) 0 (B) 3 (C)2 (D)22