必修五阶段测试一(第一章 解三角形)

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2017·江西金溪一中月考)已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么∠A＝( ) A．45° B．90° C．130°或45° D．150°或30° π

2．在△ABC中，B＝，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为( )

349π47π

A. B．16π C. D．15π 33

3．(2017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )

A．75° B．60° C．45° D．30° 4．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinB·sinC＋sin2C，则A等于( ) A．30° B．60° C．120° D．150°

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a>b>c, a2

π?πππππ，π B.?，? C.?，? D.?0，? A.??2??42??32??2?6．(2017·阆中中学质检)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果bcosC＋ccosB－asinA＝0，那么△ABC的形状为( )

A．直角三角形 C．钝角三角形

B．锐角三角形 D．不确定

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝( )

72477A. B. C．－ D．± 25252525

8．(2017·青海师范大学附属中学月考)在△ABC中，A＝30°，B＝60°，C＝90°，那么三边之比a∶b∶c等于( )

A．1∶2∶3 B．3∶2∶1 C．1∶3∶2 D．2∶3∶1 9．在△ABC中，b＝8, c＝83， S△ABC＝163，则∠A等于( )

A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 10．(2017·莆田六中期末)如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )

A．503 m B．253 m C．252 m D．502 m AC

11．在锐角△ABC中，B＝2A，则的取值范围是( )

BC

A．(－2,2) B．(2，2) C．(0，3) D．(2，3)

12.A，B两地相距200 m，且A地在B地的正东方．一人在A地测得建筑C在正北方，建筑D在北偏西60°；在B地测得建筑C在北偏东45°，建筑D在北偏西15°，则两建筑C和D之间的距离为( )

A．2002 m B．1007 m C．1006 m D．100(3－1)m 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.

ba

14．(2017·唐山一中月考)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝

abtanCtanC

6cosC，则＋＝________.

tanAtanB

15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．

16．已知△ABC的面积为

3π

，AC＝3，∠ABC＝，则△ABC的周长等于_________． 23

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60°，∠CBD＝15°，求BC的长．

18.(12分)(2017·贵州铜仁期中)设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，S是△ABC的面积，已知a＝4，b＝5，S＝53.

(1)求角C；

(2)求c边的长度．

b2＋c2－a28

19．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝S△ABC(其

23中S△ABC为△ABC的面积)．

(1)求sin2

B＋C

＋cos2A； 2

(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a.

20.(12分)(2017·河北开滦一中期末)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.

(1)求cos∠CBE的值； (2)求AE.

21．(12分)(2017·山西省朔州期末)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且357a＝4，cosA＝，sinB＝，c>4.

416

(1)求b； (2)求证：C＝2A.

22．(12分)如图所示，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500 km，且与海岸距离为300 km的海上M处有一快艇，与汽车同时发出，要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与OM所成的角．

答案与解析

ab

1．A 由正弦定理＝，

sinAsinBasinB2sin60°2

得sinA＝＝＝.

b23又a

1

2．A 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝64＋25－2×8×5×＝49，∴AC

2＝7.

ACAC773

由正弦定理得＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，∴R＝＝＝.∴△ABC

sinB2sinB33

2×249π

外接圆的面积S＝πR2＝.

3

1

3．B S△ABC＝BC·CA·sinC，

21

∴×4×3·sinC＝33， 2∴sinC＝

3， 2

又△ABC是锐角三角形，∴C＝60°，故选B. 4．C 由正弦定理，得sinA＝

abc

， sinB＝， sinC＝(其中R为△ABC外接圆半径)，2R2R2R

代入sin2A＝sin2B＋sinB·sinC＋sin2C，得a2＝b2＋bc＋c2＝b2＋c2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，b2＋c2－a2－bc1

由余弦定理得cosA＝＝＝－.

2bc2bc2

又0°<∠A<180°，∴∠A＝120°.故选C. b2＋c2－a2

5．C 解法一：cosA＝，

2bc

a2＋c2－a2cb11

∵ab>c, cosA<＝<＝，∴cosA>0，且cosA<.

2bc2b2b22

2

2

2,

ππ?∴∠A的范围为??3，2?，故选C.

π解法二：∵a>b>c, ∴a为最长边，∠A>. 3πππ

又a2

2326．A bcosC＋ccosB－asinA＝0， ∴sinBcosC＋sinCcosB－sin2A＝0. ∴sin(B＋C)－sin2A＝0.

∴sinA－sin2A＝0，∴sinA＝0(舍去)或sinA＝1，

π

∴A＝.故选A.

2

7．A ∵C＝2B，∴sinC＝sin2B＝2sinBcosB.又∵8b＝5c，sinC184

∴cosB＝＝×＝. 2sinB255

4?27

∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×?－1＝. ?5?25

13

8．C a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝∶∶1＝1∶3∶2，故选C.

222S△ABC11

9．C ∵S△ABC＝bcsinA, ∴sinA＝＝.

2bc2∴∠A＝30°或150°，经检验均满足已知条件，故选C.

10．D ∠CBA＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－45°－105°＝30°， ∴

AC·sin∠BCA50×sin45°ABAC＝，∴AB＝＝＝502 m．故选D.

sin30°sin∠BCAsin∠CBAsin∠CBA

cbcsinC8

＝，∴＝＝.sinCsinBbsinB5

11．D ∵B＝2A，

ACsinBsin2A

∴＝＝＝2cosA， BCsinAsinA∵△ABC是锐角三角形，

?2A＜2，∴?π

π－3A＜，?2

ππ∴＜A＜， 64

π

∴2＜2cosA＜3，故选D.

12．C 由题可知△BCA是等腰直角三角形， ∴AB＝AC＝200，BC＝2002， ∠DBC＝15°＋45°＝60°， ∵∠DAB＝90°－60°＝30°， ABDB∴∠BDA＝45°，∴＝.

sin45°sin30°AB·sin30°

∴DB＝＝1002，

sin45°∴DC2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos60°

1＝(1002)2＋(2002)2－2×1002×2002× 2＝6×1002，

∴DC＝1006 m，故选C.