?A不可逆 ?A可逆 ??r(A)?n r(A)?n ????Ax?0只有零解 A????Ax??有非零解 ??0是A的特征值 ?A的特征值全不为零 ?? A???A的列（行）向量线性相关??A的列（行）向量线性无关 ??ATA是正定矩阵 ??A与同阶单位阵等价 ??A?p1p2???ps,pi是初等阵 n?????R,Ax??总有唯一解向量组等价?相似矩阵????具有??反身性、对称性、传递性 矩阵合同??√ 关于e1,e2,???,en：

①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；

②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1；

④tr(E)=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示. √ 行列式的计算：

A?A?A? ① 若A与B都是方阵（不必同阶）,则?B??B??B?AB?A

B??(?1)mnAB ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

?a1n?a1n ③关于副对角线：

a2n?1?a2n?1?(?1)n(n?1)2a1na2nan1an1?an1?√ 逆矩阵的求法:

①A1?A??A

②(AE)????初等行变换?(EA?1)

?1T③??ab??ATCT??cd???1??d?b??AB?ad?bc??ca?? ??CD?????BTDT? ???1?1??a1?a??1??a??11?④?a2a??2????1?a2??? ????????????a???n???1a???an?n???1a11 / 8

1an???1a?2???

A1??A1?1??An?1??A1???????????1AAA222? ?? ??????⑤??1????????A2???1??????1?AAAn????n???n??A1???√ 方阵的幂的性质：AmAn?Am?n (Am)n?(A)mn √ 设f(x)?amxm?am?1xm?1??a1x?a0，对n阶矩阵A规定：f(A)?amAm?am?1Am?1??a1A?a0E为A的一个多项式.

√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，AB的列向量为

?1?1r1,r2,,rs,s,即 A(?1,?2,???,?s)?(A?1,A?2,,A?s),

?用A,B中简 ? 若??(b1,b2,,bn)T,则 A??b1?1?b2?2?bn?n?单的一个提 ?即：AB的第i个列向量ri是A的列向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量；高运算速度? AB的第i个行向量ri是B的行向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量.?? √ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

?????A11?B11????AB2222?,B??? 与分块对角阵相乘类似,即：A???????????A?Bkk?kk??????A11B11??AB2222? AB???????ABkkkk??√ 矩阵方程的解法：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B 当A?0时,

则：ri?A?i,i?1,2,（当B为一列时,初等行变换 (I)的解法：构造(AB)???? ?(EX) 即为克莱姆法则）(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT，

T 用(I)的方法求出X，再转置得X√ Ax??和Bx??同解（A,B列向量个数相同）,则：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 判断?1,?2,,?s是Ax?0的基础解系的条件： ① ?1,?2,,?s线性无关； ② ?1,?2,,?s是Ax?0的解；

③ s?n?r(A)?每个解向量中自由变量的个数.

1 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 2 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 3 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关。

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4 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.

5 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 6 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.

7 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示. 向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. 8 m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.

9 r(A)?0?A??.

10 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法惟一.

11 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

12 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

向量组等价 ?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n????1,?2,???,?n? 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A?B

13 矩阵A与B等价?r(A)?r(B)??A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价. 14 向量组可由向量组线性表示?1,?2,???,?s?1,?2,???,?n?n?,????1?,s?r,(?1,?2,,???,?n),?r(?)1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n). ?r(?1?,???215 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关. 向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.

16 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等价；

17 任一向量组和它的极大无关组等价.

18 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. 19 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

20 若A是m?n矩阵,则r(A)?min?m,n?,若r(A)?m，A的行向量线性无关；

若r(A)?n，A的列向量线性无关,即： ?1,?2,???,?n线性无关. 线性方程组的矩阵式 Ax?? 向量式 x1?1?x2?2??a11?aA??21???am1

a12a22am2?xn?n??

a1n???1j??x1??b1?????x??b?a2n??,x??2?,???2? ???2j?,j?1,2,j??????????????amn?xb??n??m???mj??,n

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