小学奥数教程:幻方(一)全国通用(含答案) 下载本文

【答案】

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【例 4】 如下图的3?3的阵列中填入了1~9的自然数,构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3?3 的阵

列,请选择9个不同自然数填入9个方格中,使得其中最大者为20,最小者大于5,且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.

438951276【考点】构造幻方 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察原表中的各数是从1~9不同的九个自然数,其中最大的数是9,最小的数是1,且横加、竖加、

对角线方式相加结果相等.根据题意,要求新制的幻方最大数为20,而9?11?20,因此,如果原表中的各数都增加11,就能符合新表中的条件了.如下图.

151419201612131817

【答案】

151419201612131817

【例 5】 从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入3×3的方格表中,使得每行、每列、每条对角

线上的三个数的和都相等。这个9个数中最多有_______个质数。

【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】走美杯,四年级,初赛,第4题 【解析】

最多有7个质数

【答案】7

【例 6】 请你将1~25这二十五个自然数填入5?5的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之和相等. 【考点】构造幻方 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 ①罗伯法:教师边写边说口诀:“一居上行正中央,后数依次右上连.上出框时往下填,右出框

时往左填.排重便在下格填,右上排重一个样”.见第二个图.这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”,它对于构造连续自然数(以及能构成等差数列的数)幻方是最简单易行的,适用于所有奇数阶幻方.

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②阶梯法:阶梯法也叫楼梯法,是法国数学家巴赫特创造的.这个方法十分简单而巧妙,适用于所

有奇数阶幻方.这个方法把n阶方阵从四周向外扩展成阶梯状,然后把n2个自然数顺阶梯方向先码放好,再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去,即构成幻方.下面的图⑴和图⑵表示了如何用阶梯法构成5阶幻方.图⑴中顶边以上的4、5、10三个数在图⑵中被移入底边上方相应的3个原先为空的方格中,其余三侧照此处理.

5432161116217121722813182391419241015202531692215208211427251311924125186114171023

⑴ ⑵

⑵练习:大家一起来练习用罗伯法写个七阶的幻方,注意强调细节.上出框与右出框的处理有时不容易把握,老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”,即把上下边重合在一线,则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上.强调这种方法适用于任意奇数阶幻方.

【答案】

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模块二、幻方性质

【例 7】 将九个数填入下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定

数k,则中心方格中的数必为k?3.

【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 略

【答案】因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.如右上图所示,经过中心方格

的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有:

九数之和+中心方格中的数?3?4k, 3k?中心方格中的数?3?4k, 中心方格的数?k?3

注意:例题中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3?3方格中的数阵问题很实用.

【例 8】 请编出一个三阶幻方,使其幻和为24. 【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴根据题意,要求其三阶幻方的幻和为24,所以中心数为24?3?8.

⑵既然8是中心数,那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16,想一想哪两个数相加为16呢?1?15?16,2?14?16,3?13?16,4?12?16,5?11?16,6?10?16,7?9?16

⑶按上述条件进行估算后填出,然后再进行调整即可得正确的答案.

51012847611

9

51012847611【答案】

9

【巩固】 将九个连续自然数填入下图的九个空格,使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.

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【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 介绍三阶幻方时,我们已经知道了1~9的填法及各行各列三个数相加的和均为15,现在要求每一横

行及每一竖列的三个数之和为60,显然1~9每个数增加右上图为其中一(60?15)?3?15就可以了.个解.

172221242016191823【答案】

【例 9】 将九个数填入下图的空格中,使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等,证明:

c?(a?b)?2

cabc2d-bdb*a2a-c【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 略

【答案】设中心数为d(如上图),因此每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都等于3d,第一行中间的

数为2d?b,右下角的数为2d?c.根据第一行和第三列可求出右上图中*的数,由此可得:3d?c?(2d?b)?3d?a?(2d?c)3d?c?2d?b?3d?a?2d?c

d?c?b?d?a?c2c?a?b所以c?(a?b)?2

【例 10】 在下图中的A、B、C、D处填上适当的数,使下图成为一个三阶幻方.

AB161215CD2011

【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴ 从1行和3列得:A?12?D?D?20?11,A?12?20?11,A?19.

⑵ 观察对角线上的三个数的总和,实际上它即为每行、每列的三个数的和.对角线上的三个数的和:

A?15?11?19?15?11?45.

⑶ B?45?(16?19)?10. ⑷ D?45?(20?11)?14.

⑸ C?45?(16?11)?18.∴A?19、B?10、C?18、D?14.

【答案】A?19、B?10、C?18、D?14

【巩固】 在图的九个方格里,每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等,则N= 。

8616N12【考点】幻方性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第9题,5分 【解析】 12?2?6?18 【答案】18

【巩固】 在下面两幅图的每个空格中,填入7个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于

21.

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【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据题意填法如下:

81032712114689437111056

【答案】

81032712114689437111056

【巩固】 在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等。那么

标有“★”的方格内应填入的数是_______.

3☆74【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,六年级,初赛,第4题,6分 【解析】

3871062549

【答案】

3871062549

【例 11】 在九宫图中,第一行第三列的位置上填5,第二行第一列位置上填6,如下图.请你在其他方格中

填上适当的数,使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.

5

6

A6EBCF5DG8613149451210

【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便,我们将其余方格用字母表示,如上右图所示.根据题意可知: