【答案】
132321271911171525
【例 4】 如下图的3?3的阵列中填入了1~9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方．现在另有一个3?3 的阵
列，请选择9个不同自然数填入9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等．
438951276【考点】构造幻方 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，最小的数是1，且横加、竖加、
对角线方式相加结果相等．根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9?11?20，因此，如果原表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件了．如下图．
151419201612131817
【答案】
151419201612131817
【例 5】 从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入3×3的方格表中，使得每行、每列、每条对角
线上的三个数的和都相等。这个9个数中最多有_______个质数。
【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第4题 【解析】
最多有7个质数
【答案】7
【例 6】 请你将1~25这二十五个自然数填入5?5的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之和相等． 【考点】构造幻方 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 ①罗伯法：教师边写边说口诀：“一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框
时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样”．见第二个图．这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方．
17234245617131925814202121516223910121118
②阶梯法：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的．这个方法十分简单而巧妙，适用于所
有奇数阶幻方．这个方法把n阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把n2个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方．下面的图⑴和图⑵表示了如何用阶梯法构成5阶幻方．图⑴中顶边以上的4、5、10三个数在图⑵中被移入底边上方相应的3个原先为空的方格中，其余三侧照此处理．
5432161116217121722813182391419241015202531692215208211427251311924125186114171023
⑴ ⑵
⑵练习：大家一起来练习用罗伯法写个七阶的幻方，注意强调细节．上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上．强调这种方法适用于任意奇数阶幻方．
【答案】
17234245617131925814202121516223910121118
模块二、幻方性质
【例 7】 将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定
数k，则中心方格中的数必为k?3．
【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k．如右上图所示，经过中心方格
的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次．所以有：
九数之和+中心方格中的数?3?4k， 3k?中心方格中的数?3?4k， 中心方格的数?k?3
注意：例题中对九个数及定数k都没有特殊要求．这个结论对求解3?3方格中的数阵问题很实用．
【例 8】 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24． 【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为24?3?8．
⑵既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？1?15?16，2?14?16，3?13?16，4?12?16，5?11?16，6?10?16，7?9?16
⑶按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案．
51012847611
9
51012847611【答案】
9
【巩固】 将九个连续自然数填入下图的九个空格，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60．
1722242016191823
21
【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 介绍三阶幻方时，我们已经知道了1~9的填法及各行各列三个数相加的和均为15，现在要求每一横
行及每一竖列的三个数之和为60，显然1~9每个数增加右上图为其中一（60?15）?3?15就可以了．个解．
172221242016191823【答案】
【例 9】 将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等，证明：
c?（a?b）?2
cabc2d-bdb*a2a-c【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】设中心数为d(如上图)，因此每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都等于3d，第一行中间的
数为2d?b，右下角的数为2d?c．根据第一行和第三列可求出右上图中*的数，由此可得：3d?c?（2d?b）?3d?a?（2d?c）3d?c?2d?b?3d?a?2d?c
d?c?b?d?a?c2c?a?b所以c?（a?b）?2
【例 10】 在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方．
AB161215CD2011
【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴ 从1行和3列得：A?12?D?D?20?11，A?12?20?11，A?19．
⑵ 观察对角线上的三个数的总和，实际上它即为每行、每列的三个数的和．对角线上的三个数的和：
A?15?11?19?15?11?45．
⑶ B?45?(16?19)?10． ⑷ D?45?(20?11)?14．
⑸ C?45?(16?11)?18．∴A?19、B?10、C?18、D?14．
【答案】A?19、B?10、C?18、D?14
【巩固】 在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N= 。
8616N12【考点】幻方性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第9题，5分 【解析】 12?2?6?18 【答案】18
【巩固】 在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于
21．
8448
【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据题意填法如下：
81032712114689437111056
【答案】
81032712114689437111056
【巩固】 在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等。那么
标有“★”的方格内应填入的数是_______.
3☆74【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第4题，6分 【解析】
3871062549
【答案】
3871062549
【例 11】 在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图．请你在其他方格中
填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27．
5
6
A6EBCF5DG8613149451210
【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示．根据题意可知：