一.填空题:

1． 若求积公式对任意不超过 m 次的多项式精确成立,而对 m+1 次多项式不成立,则称此公式的代数精度为m次.

2． 高斯消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 计算中

断 ;. 主元素的绝对值太小会发生 误差增大 .

3． 当A具有对角线优势且 不可约 时，线性方程组Ax=b用简单迭代法和塞德

尔迭代法均收敛.

4． 求解常微分方程初值问题的欧拉方法是 1 阶格式; 标准龙格库塔法是 4

阶格式.

5． 一个n阶牛顿-柯特斯公式至少有 n 次代数精度,当n偶数时,此公式可以

有 n+1 次代数精度.

6． 相近数 相减会扩大相对误差,有效数字越多,相对误差 越大 .

二计算题:

1. 线性方程组:

?3x1?3x2?x3?3.5??x1?3x2?2x3?6 ??x?2x?5x??1.523?11) 对系数阵作LU分解,写出L阵和U阵；

?1?L??1/3??1/3?1?3/4???1???3?U????3?4??5/3? 12/79??12) 求出此方程组的解.

x?(2,?1,0.5)?

2. 线性方程组:

?3x1?2x2?2x3?5??2x1?3x2?2x3??1 ?2x?2x?3x?323?11)对系数阵作LU分解,写出L阵和U阵；

?1???L??2/31??2/32/51???22??3??U??5/32/3?

??7/5??2)求出此方程组的解.

x?(3,?3,1)?

3) 此方程组能否用用简单迭代法和高斯塞德尔迭代法求解.

3?0,322323222?7?03?5?0,232

A对称正定,用高斯-塞德尔迭代法收敛;

2/32/3?????1BJ??D(L?U)???2/32/3??2/32/3???4163?I?BJ??????0, 327?1??1.3333,?2,3?0.6667.用简单迭代法不收敛

4

3. 设f(x)= x , 以-1,0,1,2为插值节点,

1) 试写出f(x)的三次拉格朗日插值多项式P3(x)及其插值余项R3(x);

x -1 0 1 2 y 1 0 1 16 l0(x)?(x?x1)(x?x2)(x?x3)x(x?1)(x?2)??(x0?x1)(x0?x2)(x0?x3)6(x?x0)(x?x2)(x?x3)(x?1)(x?1)(x?2)?(x1?x0)(x1?x2)(x1?x3)2(x?x0)(x?x1)(x?x3)x(x?1)(x?2)??(x2?x0)(x2?x1)(x2?x3)2(x?x0)(x?x1)(x?x2)x(x?1)(x?1)?(x3?x0)(x3?x1)(x3?x2)6l1(x)?l2(x)?l3(x)?P3(x)?l0(x)?l2(x)?8l3(x)

?x?R(x)?34(4)4!(x?1)x(x?1)(x?2)?x(x?1)(x?1)(x?2)2) 求出f(1.5)的近似值,并估计误差.

f(1.5)?1.54?5.0625

R3(1.5)?x(x?1)(x?1)(x?2)?1.5?2.5?0.5??0.5?-0.9375P3(1.5)?5.0625?(?0.9375)?6

或:

P3(1.5)?l0(1.5)?l2(1.5)?8l3(1.5)?0.0625? 0.9375?16?0.3125=6 R3(1.5)?f(1.5)?P1.5)?5.0625?6?-0.93753(

4 设f(x)?lnx, 以1,2,3为插值节点,

1) 试写出f(x)的二次拉格朗日插值多项式P2(x)及其插值余项R2(x);

2 3 x 1 y 0 0.6031 1.0986 l0(x)?(x?x1)(x?x2)(x?2)(x?3)?(x0?x1)(x0?x2)2(x?x0)(x?x2)??(x?1)(x?3)(x1?x0)(x1?x2)

(x?x0)(x?x1)(x?1)(x?2)?(x2?x0)(x2?x1)2

l1(x)?l2(x)?Pl1(x)?1.0986l2(x)??0.1438x2?1.1247x?0.98082(x)?0.6931R2(x)?

ln????3!(x?1)(x?2)(x?3)?1(x?1)(x?2)(x?3)3?32) 求出lne?p2(e)的近似值,与精确值1比较,并用误差公式估计误差限.

p2(e)?1.0135,lne?1,R2?0.0135