自学考试 - 04184-线性代数(经管类) - 2007-2012历年真题及答案版 下载本文

四、证明题(本大题共1小题,6分)

a11a12a1327.设三阶矩阵A=a21a22a23的行列式不等于0,证明: a31a32a33???a11?a??a12?????a??a13??1??21?,?222?,?3??a23?线性无关.

??a31????a32????a33??全国2011年10月自学考试线性代数(经管类)试题

1.设3阶方阵A的行列式为2,则?12A?( ) A.-1 B.?14 C.

14 D.1

x?2x?1x?22.设f(x)?2x?22x?12x?2,则方程f(x)?0的根的个数为( )

3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2

D.3

3.设A为n阶方阵,将A的第1列与第2列交换得到方阵B,若A?B,则必有(A.A?0 B. A?B?0 C. A?0

D. A?B?0

4.设A,B是任意的n阶方阵,下列命题中正确的是( ) A.(A?B)2?A2?2AB?B2 B.(A?B)(A?B)?A2?B2 C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E)

D.(AB)2?A2B2

?a1b1a1b2a1b3?5.设A???a2ba?12b2a?2b3?,其中ai?0,bi?0,i?1,2,3,则矩阵A的秩为( )?a3b1a3b2a3b3??A.0 B.1

C.2 D.3

6.设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵A*的秩为( ) A.0 B.2

6

C.3 D.4

7.设向量α=(1,-2,3)与β=(2,k,6)正交,则数k为( ) A.-10 B.-4 C.3 D.10

?x1?x2?x3?4?8.已知线性方程组?x1?ax2?x3?3无解,则数a=( )

?2x?2ax?42?1A.?C.

1 2B.0 D.1

1 229.设3阶方阵A的特征多项式为?E?A?(??2)(??3),则A?( )

A.-18 C.6 B.-6 D.18

10.若3阶实对称矩阵A?(aij)是正定矩阵,则A的3个特征值可能为( ) A.-1,-2,-3 B.-1,-2,3 C.-1,2,3 D.1,2,3 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

3011.设行列式D?242,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.

253?2a??a?b?b?A?,B?12.设????,则AB?__________.

??a?a???bb??103???13.设A是4×3矩阵且r(A)?2,B??020?,则r(AB)?__________.

??103???14.向量组(1,2),(2,3)(3,4)的秩为__________.

15.设线性无关的向量组α1,α2,…,αr可由向量组β1,β2,…,βs线性表示,则r与s的关系为__________.

?x1??x2?x3?0?16.设方程组??x1?x2?x3?0有非零解,且数??0,则??__________.

?x?x??x?03?1217.设4元线性方程组Ax?b的三个解α1,α2,α3,已知

?1?(1,2,3,4)T,?2??3?(3,5,7,9)T,r(A)?3.则方程组的通解是__________.

18.设3阶方阵A的秩为2,且A?5A?0,则A的全部特征值为__________.

7

2

??211??1?????19.设矩阵A?0a0有一个特征值??2,对应的特征向量为x?2,则数??????413??2?????a=__________.

20.设实二次型f(x1,x2,x3)?xAx,已知A的特征值为-1,1,2,则该二次型的规范形为__________.

三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

21.设矩阵A?(?,2?2,3?3),B?(?,?2,?3),其中?,?,?2,?3均为3维列向量,且

TA?18,B?2.求A?B.

?11?1??01??1?1???????2?X??10???11?. 22.解矩阵方程?02?1?10??43??21???????23.设向量组α1=(1,1,1,3),α2=(-1,-3,5,1),α3=(3,2,-1,p+2),α4=

T

(3,2,-1,p+2)问p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

T

T

T

?2x1??x2?x3?1?24.设3元线性方程组??x1?x2?x3?2,

?4x?5x?5x??123?1(1)确定当λ取何值时,方程组有惟一解、无解、有无穷多解?

(2)当方程组有无穷多解时,求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).

225.已知2阶方阵A的特征值为?1?1及?2??,方阵B?A.

13(1)求B的特征值; (2)求B的行列式.

26.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?12x2x3为标准形,并写出所作的可逆线性变换.

四、证明题(本题6分)

27.设A是3阶反对称矩阵,证明A?0.全国2011年7月高等教育自学考试

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

222?10?1???T1.设A?350,则AA=( )

????041??

8

A.-49 B.-7 C.7 D.49

2.设A为3阶方阵,且A?4,则?2A?( ) A.-32 B.-8 C.8

D.32

3.设A,B为n阶方阵,且AT=-A,BT=B,则下列命题正确的是( ) A.(A+B)T=A+B B.(AB)T=-AB C.A2

是对称矩阵

D.B2

+A是对称阵

4.设A,B,X,Y都是n阶方阵,则下面等式正确的是( ) A.若A2

=0,则A=0 B.(AB)2=A2B2

C.若AX=AY,则X=Y

D.若A+X=B,则X=B-A

??1131?5.设矩阵A=?02?14???0005??,则秩(A)=( ) ?0000??A.1 B.2 C.3

D.4

?kx?z?06.若方程组??2x?ky?z?0仅有零解,则k=( )

??kx?2y?z?0A.-2 B.-1 C.0

D.2

7.实数向量空间V={(x1,x2,x3)|x1 +x3=0}的维数是( ) A.0 B.1 C.2

D.3

?x8.若方程组?1?2x2?x3???1?3x2?x3???2有无穷多解,则?=(???x2?x3?(??3)(??4)?(??2)A.1 B.2 C.3

D.4

?1009.设A=???010?,则下列矩阵中与A相似的是( ) ?02??0????110A.?100??020?B.???? ?010? ?001?????002???100?101?C.???011?D.??? ?020? ?002?????001?? 9

2210.设实二次型f(x1,x2,x3)?x2,则f( ) ?x3A.正定 C.负定

B.不定 D.半正定

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

TTT11.设A=(-1,1,2),B=(0,2,3),则|AB|=______.

12.设三阶矩阵A???1,?2,?3?,其中?i(i?1,2,3)为A的列向量,且|A|=2,则

??1??2,?2,?1??2??3??______.

??01?13.设A??a0??b0???14.矩阵Q?????3212?0??c?,且秩(A)=3,则a,b,c应满足______. 1??2?1???2?的逆矩阵是______. 3??2?15.三元方程x1+x3=1的通解是______. 16.已知A相似于?????10?,则|A-E|=______. ??02??001???17.矩阵A?010的特征值是______. ????100??18.与矩阵A???12?相似的对角矩阵是______. ??21??100???4

19.设A相似于??0?10,则A______.

????001??20.二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是______. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

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