四、证明题（本大题共1小题，6分）

a11a12a1327．设三阶矩阵A=a21a22a23的行列式不等于0，证明： a31a32a33???a11?a??a12?????a??a13??1??21?,?222?,?3??a23?线性无关．

??a31????a32????a33??全国2011年10月自学考试线性代数(经管类)试题

1.设3阶方阵A的行列式为2，则?12A?( ) A.-1 B.?14 C.

14 D.1

x?2x?1x?22.设f(x)?2x?22x?12x?2,则方程f(x)?0的根的个数为（ ）

3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2

D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若A?B,则必有（A.A?0 B. A?B?0 C. A?0

D. A?B?0

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ） A.(A?B)2?A2?2AB?B2 B.(A?B)(A?B)?A2?B2 C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E)

D.(AB)2?A2B2

?a1b1a1b2a1b3?5.设A???a2ba?12b2a?2b3?,其中ai?0,bi?0,i?1,2,3,则矩阵A的秩为（ ）?a3b1a3b2a3b3??A.0 B.1

C.2 D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ） A.0 B.2

6

）

C.3 D.4

7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（ ） A.-10 B.-4 C.3 D.10

?x1?x2?x3?4?8.已知线性方程组?x1?ax2?x3?3无解，则数a=( )

?2x?2ax?42?1A.?C.

1 2B.0 D.1

1 229.设3阶方阵A的特征多项式为?E?A?(??2)(??3),则A?( )

A.-18 C.6 B.-6 D.18

10.若3阶实对称矩阵A?(aij)是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ） A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3 C.-1，2，3 D.1，2，3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

3011.设行列式D?242,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.

253?2a??a?b?b?A?,B?12.设????,则AB?__________.

??a?a???bb??103???13.设A是4×3矩阵且r(A)?2,B??020?,则r(AB)?__________.

??103???14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.

15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.

?x1??x2?x3?0?16.设方程组??x1?x2?x3?0有非零解，且数??0,则??__________.

?x?x??x?03?1217.设4元线性方程组Ax?b的三个解α1，α2，α3，已知

?1?(1,2,3,4)T,?2??3?(3,5,7,9)T,r(A)?3.则方程组的通解是__________.

18.设3阶方阵A的秩为2，且A?5A?0,则A的全部特征值为__________.

7

2

??211??1?????19.设矩阵A?0a0有一个特征值??2,对应的特征向量为x?2,则数??????413??2?????a=__________.

20.设实二次型f(x1,x2,x3)?xAx,已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.设矩阵A?(?,2?2,3?3),B?(?,?2,?3),其中?,?,?2,?3均为3维列向量，且

TA?18,B?2.求A?B.

?11?1??01??1?1???????2?X??10???11?. 22.解矩阵方程?02?1?10??43??21???????23.设向量组α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=

T

（3，2，-1，p+2）问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

T

T

T

?2x1??x2?x3?1?24.设3元线性方程组??x1?x2?x3?2,

?4x?5x?5x??123?1（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

225.已知2阶方阵A的特征值为?1?1及?2??,方阵B?A.

13（1）求B的特征值； （2）求B的行列式.

26.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?12x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性变换.

四、证明题(本题6分)

27.设A是3阶反对称矩阵，证明A?0.全国2011年7月高等教育自学考试

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

222?10?1???T1．设A?350，则AA=（ ）

????041??

8

A．-49 B．-7 C．7 D．49

2．设A为3阶方阵，且A?4，则?2A?（ ） A．-32 B．-8 C．8

D．32

3．设A，B为n阶方阵，且AT=-A，BT=B，则下列命题正确的是（ ） A．（A+B）T=A+B B．（AB）T=-AB C．A2

是对称矩阵

D．B2

+A是对称阵

4．设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（ ） A．若A2

=0，则A=0 B．（AB）2=A2B2

C．若AX=AY，则X=Y

D．若A+X=B，则X=B-A

??1131?5．设矩阵A=?02?14???0005??，则秩（A）=（ ） ?0000??A．1 B．2 C．3

D．4

?kx?z?06．若方程组??2x?ky?z?0仅有零解，则k=（ ）

??kx?2y?z?0A．-2 B．-1 C．0

D．2

7．实数向量空间V={（x1，x2，x3）|x1 +x3=0}的维数是（ ） A．0 B．1 C．2

D．3

?x8．若方程组?1?2x2?x3???1?3x2?x3???2有无穷多解，则?=（???x2?x3?(??3)(??4)?(??2)A．1 B．2 C．3

D．4

?1009．设A=???010?，则下列矩阵中与A相似的是（ ） ?02??0????110A．?100??020?B．???? ?010? ?001?????002???100?101?C．???011?D．??? ?020? ?002?????001?? 9

）

2210．设实二次型f(x1,x2,x3)?x2，则f（ ） ?x3A．正定 C．负定

B．不定 D．半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

TTT11．设A=(-1,1,2)，B=(0,2,3),则|AB|=______.

12．设三阶矩阵A???1,?2,?3?，其中?i(i?1,2,3)为A的列向量，且|A|=2，则

??1??2,?2,?1??2??3??______.

??01?13．设A??a0??b0???14．矩阵Q?????3212?0??c?，且秩(A)=3，则a,b,c应满足______. 1??2?1???2?的逆矩阵是______. 3??2?15．三元方程x1+x3=1的通解是______. 16．已知A相似于?????10?，则|A-E|=______. ??02??001???17．矩阵A?010的特征值是______. ????100??18．与矩阵A???12?相似的对角矩阵是______. ??21??100???4

19．设A相似于??0?10，则A______.

????001??20．二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

10