全国2010年10月高等教育自学考试
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说明:在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|
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表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩. 一、单项选择题
T
1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A|=( ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 ?1?2.设矩阵A=???1??,B=(1,1),则AB=( )
??A.0 ?1?C. ???1??
??B.(1,-1) 1??1D. ???1?1??
??3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )
A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA 2?*?1-14.设矩阵A的伴随矩阵A=??34??,则A= ( )
??A.?1?4?3?? ? ??2??21?1?12?? ?? 342???B. ?1?1?2?? ? ??2??34?1?42?? ?? 312???C. ?D. ?5.下列矩阵中不是初等矩阵的是( ) ．．?101???A.?010? ?000????100???C. ?030?
?001????001???B. ?010?
?100????100???D. ?010?
?201???6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有( )
A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( ) A. α1, α2,β线性无关
B. β不能由α1, α2线性表示
C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一
8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( ) A.0 B.1
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C.2 D.3
?2x1?x2?x3?0?9.设齐次线性方程组?x1?x2?x3?0有非零解,则?为( )
??x?x?x?023?1A.-1 B.0
C.1 D.2
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10.设二次型f(x)=xAx正定,则下列结论中正确的是( )
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A.对任意n维列向量x,xAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式
0112的值为_________.
?12?12.已知A=??23??,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.
???11??1?3?3
???13.设矩阵A=?,P=,则AP=_________. ?01???24?????14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|AB|=_________.
15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________. 16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且?1??3?????2???5??1???,?1??3???,则该线性方程组的通解是_________.
37?????4??9??????1??1?????17.已知P是3阶正交矩,向量???3?,???0?,则内积(P?,P?)?_________.
?2??2?????-1
18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________. ?12?19.与矩阵A=??03??相似的对角矩阵为_________.
???1?2?T
?20.设矩阵A=?,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________. ??2k???三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
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012021.求行列式D=
101221010210的值.
?0?10???1?20?????22.设矩阵A=?100?,B??2?10?,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.
?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量组?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩为2,求k的值.
?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.设矩阵A??1?10?,b??1?.
??121??0?????(1)求A;
(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.
2
25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A+2A-E,求 (1)矩阵A的行列式及A的秩.
(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.
?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换?x2?2y1?2y2?y3所得的
?x?2y3?3-1
标准形.
四、证明题(本题6分)
2
27.设n阶矩阵A满足A=E,证明A的特征值只能是?1.
全国2010年7月高等教育自学考试
1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 C.6
3 0 ?2 0 2 10 5 0 0 0 ?2 0?2 3 ?2 3B.-6 D.12
2.计算行列式=( )
A.-180 B.-120
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C.120
D.180
3.若A为3阶方阵且| A-1
|=2，则| 2A |=( ) A.12 B.2 C.4
D.8
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示
D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( ) A.2 B.3 C.4
D.5
6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( ) A.A与B相似 B.| A |=| B | C.A与B等价
D.A与B合同
7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( ) A.0 B.2 C.3
D.24
8.若A、B相似，则下列说法错误．．的是( ) A.A与B等价 B.A与B合同 C.| A |=| B |
D.A与B有相同特征值
9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( ) A.-2 B.0 C.2
D.4
10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则( ) A.A正定 B.A半正定 C.A负定 D.A半负定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 ?11.设A=?3 ?2??0 1???,B=??2 1 ?1??，则?2 4???0 ?1 0AB=_________________. ?12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1
|=______________.
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