13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.

14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.

1-1

16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，，1，则| 5A |=______________.

217.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________. ? 2 ?1 0???18.实对称矩阵??1 0 1 ?所对应的二次型f (x1, x2, x3)=________________.

? 0 1 1????1???1?????19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=?2?，α2=? 2?且r(A)=2，则Ax=b的通解是

?3?? 3?????_______________.

?1???T20.设α=?2?，则A=αα的非零特征值是_______________.

?3???

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 221.计算5阶行列式D=

22.设矩阵X满足方程

?2 0 0??1 0 0??1 ?4 3??????? ?0 ?1 0?X?0 0 1?=?2 0 ?1? ?0 0 2??0 1 0??1 ?2 0???????求X.

23.求非齐次线性方程组

?x1?x2?3x3?x4?1??3x1?x2?3x3?4x4?4的通. ?x?5x?9x?8x?0234?124.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

21

? 2 ?1 2???T25.已知A=? 5 a 3?的一个特征向量ξ=（1,1，-1），求a，b及ξ所对应的特征值，

??1 b ?2???并写出对应于这个特征值的全部特征向量. 1 1 ?2???2 ??26.设A=? 1 ?2 1 a?，试确定a使r(A)=2.

? 1 1 ?2 2???

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

全国2010年4月高等教育自学考试 1.已知2阶行列式

a1b1a2b2=m ,

b1c1b2c2=n ,则

b1b2a1?c1a2?c2=（ ）

A.m-n C.m+n

B.n-m D.-（m+n）

2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ） A.ACB C.CBA

B.CAB D.BCA

3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（ ） A.-8 C.2

B.-2 D.8

?100??100??a11a12a13??a113a12a13?????????4.已知A=?a21a22a23?，B=?a213a22a23?，P=?030?，Q=?310?，则B=（ ）

?????aaa??a3aa??001??001??313233??313233?????A.PA C.QA

B.AP D.AQ

5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2 B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2 C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0 D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误的是（ ） ．．A.只含有一个零向量的向量组线性相关

22

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出

B.α2必能由α1,α3，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ ） A.小于m C.小于n

B.等于m D.等于n

9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A C.A

-1T

B.A D.A

*

2

222?x2?x3?2x1x2的正惯性指数为（ ） 10.二次型f（x1,x2,x3）=x1A.0 C.2

B.1 D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式

2007200820092010的值为_________________________.

0??,则ATB=____________________________. 1??T

T

?1?13??2??12.设矩阵A=,B=??0?201????13.设4维向量??（3,-1,0,2）,β=（3,1,-1,4），若向量γ满足2??γ=3β，则γ

=__________.

14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=?1-1

,则|A|=___________________________. n15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________.

?x?x?x3?016.齐次线性方程组?12的基础解系所含解向量的个数为________________.

2x?x?3x?023?1?1?17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵?A2?必有一个特征值为_____________.

?3??1 23

???1?2?2???18.设矩阵A=??2x0?的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

??????200?????a??119.已知A=??2??0???0?2??b0?是正交矩阵，则a+b=_______________________________。

??01???120.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

abb2b?b3cc2的值。 c?c3T

2

21.计算行列式D=a2a?a322.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BC；（2）A。

)T,?4?(1,1,1,1)T,求向量组的秩及23.设向量组?1?(2,1,3,1)T,?2?(1,2,0,1)T,?3?(-1,1,-3,0一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。 ??1??24.已知矩阵A=?0??0??210???3???14???????2?，B=?25?.（1）求A-1；（2）解矩阵方程AX=B。 ????1?3?1????????x1?2x2?3x3?4??2x2?ax3?2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求25.问a为何值时，线性方程组???2x?2x?3x?623?1出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。 ??2?26.设矩阵A=?0???0?

03a?0??a?的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，??3??24

??1?-1

使PAP=?0???0?020?0??0?。 ??5??四、证明题（本题6分）

27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）=A+B。 全国2010年1月高等教育自学考试

2x2y2z401?（ ） 1.设行列式403?1,则行列式3111111xyz-1

-1

-1

A.

2 3B.1 8D. 3-1

C.2

2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）=（ ）

-1-1-1-1-1-1

A. ABC B. CBA

-1-1-1-1-1-1

C. CAB D. ACB

3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.32

4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是

（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m≥n B.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解 C.r（A）=m D.Ax=0存在基础解系 ?4?52??8.设矩阵A=??5?73?，则以下向量中是A的特征向量的是（ ）

??6?94??A.（1，1，1） TC.（1，1，0）

TB.（1，1，3）

TD.（1，0，-3）

25

T