?1?11??的三个特征值分别为λ，λ，λ，则λ+λ+λ9.设矩阵A=?13?112312

???1??11?3

= （ ）

A.4

C.6 B.5 D.7

22210.三元二次型f （x1，x2，x3）=x1的矩阵为（ ） ?4x1x2?6x1x3?4x2?12x2x3?9x3?123?? A.?246????369???126?? C.?246????069???143?? B.?046????369???123?? D.?240????3129??

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

123三、11.行列式459=_________.

6713?5?212.设A=??0??0200?100??，则A-1=_________. 021??011?3

2

-1

13.设方阵A满足A-2A+E=0，则（A-2E）=_________.

14.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.

15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________.

T16.设A是m×n实矩阵，若r（AA）=5，则r（A）=_________. ?a11??x1??1??????17.设线性方程组??1a1??x2???1?有无穷多个解，则a=_________.

??11a????x3?????2??18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.

19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.

22?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩为_________. 20.二次型f(x1,x2,x3)?4x2

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

26

234521．计算4阶行列式D=

345645675678.

?2?31??，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A-1. 22.设A=?4?52????5?73??23.设向量α=（3，2），求（αα）.

24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.

（1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合. ?x1?x2?2x4?0?25.求齐次线性方程组?4x1?x2?x3?x4?0的基础解系及其通解.

?3x?x?x?0123??32?2??，求可逆方阵P，使P-1AP为对角矩阵. 26.设矩阵A=?0?10????42?3??T101

四、证明题（本大题6分）

27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

27

全国2009年10月自学考试线性代数(经管类)试题

01?111．行列式

?101?11?101第二行第一列元素的代数余子式A21=（ ）

?11?10A．-2 B．-1 C．1

D．2

2．设A为2阶矩阵，若3A=3，则2A?（ ） A．12 B．1 C．

43 D．2

3．设n阶矩阵A、B、C满足ABC?E，则C?1?（ ） A．AB B．BA C．A?1B?1

D．B?1A?1

4．已知2阶矩阵A???ab???1?cd???的行列式A??1，则(A*)?（ ）

A．???a?b???c?d??

B．??d?b?????ca??

??C．???db??D．??ab??c?a?? ??cd??

??5．向量组?1,?2,?,?s(s?2)的秩不为零的充分必要条件是（ ） A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组 B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量C．?1,?2,?,?s全是非零向量

D．?1,?2,?,?s全是零向量

6．设A为m?n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是（ A．r(A)?n B．r(A)?m C．r(A)?n

D．r(A)?m

7．已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A．A B．E?A C．?E?A

D．2E?A

8．下列矩阵中不是．．

初等矩阵的为（ ） 28

）

?100???A．?010?

?101????100???C．?020?

?001????100???B．?010?

??101????100???D．?110?

?101???9．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4的秩为（ ） A．1 C．3

B．2 D．4

?001???10．设矩阵A??010?，则二次型xTAx的规范形为（ ）

?100???222?z2?z3A．z1 222?z2?z3C．z1

222?z2?z3B．?z1 222?z2?z3D．z1

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1?b1a2?b2a1?b1a2?b2??4，则

11．已知行列式

a1a2b1b2?______.

12．已知矩阵A?(1,2,?1),B?(2,?1,1)，且C?ATB，则C2=______. ?100??1???1?13．设矩阵A??220?，则?A??______.

?2??333????10??1?1???14．已知矩阵方程XA?B，其中A??,B??21??10??，则X?______. ????15．已知向量组?1?(1,2,3)T,?2?(2,2,2)T,?3?(3,2,a)T线性相关，则数a?______. 16．设向量组?1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T，且?1??1??2,?2??2，则向量组?1,?2的秩为

______.

21??1?1??17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为?0a?101?，若该方程组无解，则a

?00a?10???

29

的取值为______.

18．已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______. 19．已知向量α?(3,k,2)T与β?(1,1,k)T正交，则数k?______.

22220．已知3元二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1正定，则数a的最大取值范围是?x2?(a?3)x3______.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

x?1?1x?1?1?111x?11?1?1?1x?121．计算行列式D?111的值.

?21?22．设矩阵A????12??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?E，求|B|.

???x1?x2?a1?23．已知线性方程组?x2?x3?a2

?x?x?a13?3(1)讨论常数a1,a2,a3满足什么条件时，方程组有解．

(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．

24．设向量组?1?(1,4,1,0)T,?2?(2,1,?1,?3)T,?3?(1,0,?3,?1)T,?4?(0,2,?6,3)T，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示． ?12??50?TT??25．设矩阵A??,B??43??2?1??，存在?1?(1,2),?2?(?1,1)，使得A?1?5?1, ????存在?1?(3,1)T,?2?(0,1)T,使得B?1?5?1,B?2???2.试求可逆矩阵P，A?2???2；使得P?1AP?B.

26．已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，求一正交变换x?Py，将此二次型化

为标准形． 四、证明题(本题6分)

27．设向量组?1,?2,?3线性无关，且??k1?1?k2?2?k3?3．证明：若k1≠0，则向量组

?,?2,?3也线性无关．

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