全国2009年7月高等教育自学考试

1.设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是（ ） ．．．A.（A+B）=A+B C.A（B+C）=BA+CA

a11a12a22a32a13a332a11?2a312a12a22?2a32TTTB.|AB|=|A||B|

TTTD.（AB）=BA

2a13a23?2a332.已知a21a31a23=3，那么a21=（ ）

A.-24 B.-12 C.-6 D.12 3.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（ ） A.A=

1A* AB.A?0

C.(A2)?1?(A?1)2 D.(3A)?1?3A?1

?41??31?2???23?，C=?02?1?，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是4.若A=?，B=??3?12????152?????21??（ ）

TTA.ABC B.ACB

TTTC.CBA D.CBA 5.设有向量组A：?1，?2，?3，?4，其中?1，?2，?3线性无关，则（ ） A.?1，?3线性无关 B.?1，?2，?3，?4线性无关 C.?1，?2，?3，?4线性相关 D.?2，?3，?4线性相关 6.若四阶方阵的秩为3，则（ ） A.A为可逆阵 B.齐次方程组Ax=0有非零解 C.齐次方程组Ax=0只有零解 D.非齐次方程组Ax=b必有解

7.设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是（ ） A.A的行向量组线性相关 B.A的列向量组线性相关 C.A的行向量组线性无关 D.A的列向量组线性无关 8.下列矩阵是正交矩阵的是（ ） 0??10? 0?10A.?????00?1???101?1??110B.?2???011??

?cos?C.???sin??sin?? cos???????D.?????31

2202216661063??3?3??

3??3??3??

9.二次型f?xTAx(A为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A.A可逆

C.A的特征值之和大于0

B.|A|>0

D.A的特征值全部大于0

0??k0?10.设矩阵A=??0k?2?正定，则（ ）

??0?24??A.k>0

C.k>1

B.k?0 D.k?1

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

T11.设A=（1，3，-1），B=（2，1），则AB=____________________。

21012.若131?0,则k?_____________。

k21?120??，则A*=_____________。 13.设A=?200????013??14.已知A-2A-8E=0，则（A+E）=_____________。

15.向量组?1?(1,1,0,2),?2?(1,0,1,0),?3?(0,1,?1,2)的秩为_____________。

16.设齐次线性方程Ax=0有解?，而非齐次线性方程且Ax=b有解?,则???是方程组_____________的解。

?x1?x2?017.方程组?的基础解系为_____________。

x?x?03?22-1

18.向量??(3,2,t,1),??(t,?1,2,1)正交,则t?_____________。 ?10??3b?19.若矩阵A=?与矩阵B=???相似，则x=_____________。 04ax????222?2x2?3x3?x1x2?3x1x3对应的对称矩阵是_____________。 20.二次型f(x1,x2,x3)?x1

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1?3432?205?2221.求行列式D=

427006的值。

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?23???3?1??0?122.已知A=?,B?,C????21??12?10????1??12,D??100???0?,矩阵X满足方程1??AX+BX=D-C，求X。

23.设向量组为 ?1?(2,0,?1,3) ?2?(3,?2,1,?1)

?3?(?5,6,?5,9)

?4?(4,?4,3,?5)

求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。

24.求?取何值时,齐次方程组 ?(??4)x1?3x2?0? ?4x1?x3?0

??5x??x?x?0123? 有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。

?1?6?3??，求矩阵A的全部特征值和特征向量。 25.设矩阵A=?0?5?3???4??06?222?4x2?x3?2x1x3?4x2x3的标准形，并写出相应的线26.用配方法求二次型f(x1,x2,x3)?x1性变换。

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.证明：若向量组?1,?2,??n线性无关,而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?,

?n??n?1+?n，则向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数。

全国2009年4月高等教育自学考试

0?1011?1中元素a21的代数余了式A21=（ ） 01．3阶行列式aij=1?1A．-2 C．1 ?a11?2．设矩阵A=??a?21a12??a21?a11??，B=????aa22?11?B．-1

D．2

a22?a12??01??10??????，P=，P=则必有（ ） 12?????，

?10??11?a12?????? 33

A．P1P2A=B B．P2P1A=B C．AP1P2=B D．AP2P1=B

-1

3．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B=（ ）

-1-1-1-1

A．AC B．CA C．AC D．CA

?010?????2

4．设3阶矩阵A=?001?，则A的秩为（ ）

???????000?A．0 B．1 C．2 D．3

5．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示法

惟一，则向量组?1,?2,?3,?4的秩为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

6．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中（ ）

A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

7．设?1,?2,?3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ） A．?1,?2,?1??2 C．?1,?2,?1??2

B．?1??2,?2??3,?3??1 D．?1??2,?2??3,?3??1

?20???8．若2阶矩阵A相似于矩阵B=??，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是

?2?3???（ ）

?10???A．??

?14?????10???C．??

??24?????10???B．??

?1?4?????10???D．??

??2?4???0??20????T9．设实对称矩阵A=?0?42?，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xAx的规范形为（ ）

???????02?1?222?z2?z3A．z1

222?z2?z3B．z1

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22?z2C．z1 22?z2D．z1

10．若3阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（ ） A．0 B．1

C．2 D．3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a112a123a13a11a12a22a32a13a23=_______________. a3311．已知3阶行列式2a214a223a316a326a23=6，则a219a33a3112．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，

则D3=__________________. ?12???2

13．设A=??，则A-2A+E=____________________.

??10????12???14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B=??，则

?34???A=______________.

?001?????-1

15.设3阶矩阵A=?022?，则A=_________________.

??????333??16.设向量组?1=（a,1,1）,?2=（1,-2,1）, ?3=（1,1,-2）线性相关，则数a=________.

17.已知x1=(1,0,-1), x2=(3,4,5)是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐

次线性方程组Ax=0有一个非零解向量?=__________________.

T

18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为?1=(1，1),

T

?2=(1，k)，则数k=_____________________. 19.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=_________.

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20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)+(x2-x3)的矩阵A=_____________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

TT

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