1x230中元素a12的代数余子式A12=8，求元素a21的代数余

四、21.已知3阶行列式aij=x5?14子式A21的值.

??11???11?????22.已知矩阵A??，B=???,矩阵X满足AX+B=X，求X.

??10??02?????23.求向量组?1=(1,1,1,3)，?2=(-1,-3,5,1)，?3=(3,2,-1,4)，?4=(-2,-6,10,2)的一

个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.

?ax1?x2?x3?0???24.设3元齐次线性方程组?x1?ax2?x3?0，

????x1?x2?ax3?0TTTT

（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；

（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.

?201?????25.设矩阵B=?313?，

??????405??（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；

-1

（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵?和可逆矩阵P，使PBP=?

222?2x2?x3?2x1x2?2x2x3,求正交变换x=Py,将二次型化为26.设3元二次型f(x1,x2,x3)?x1标准形.

四、证明题（本题6分）

2

27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.

全国2009年1月高等教育自学考试

?x?y?z?0?1．线性方程组?2x?5y?3z?10的解为（ ）

?4x?8y?2z?4?A．x=2,y=0,z=-2 C．x=0,y=2,z=-2 B．x=-2,y=2,z=0 D．x=1,y=0,z=-1

*12?2．设矩阵A=??43?，则矩阵A的伴随矩阵A=（ ）

??32?A．??41?

??3?2?B．???41?

?? 36

34?C．??21? ??3?4?D．???21?

??T

3．设A为5×4矩阵，若秩（A）=4，则秩（5A）为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关 D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关 5．设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

6．设m×n矩阵A的秩为n-1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为（ ） A．kξ1，k∈R C．kξ1+ξ2，k∈R

B．kξ2，k∈R

D．k(ξ1-ξ2),k∈R

7．对非齐次线性方程组Am×nx=b，设秩（A）=r，则（ ） A．r=m时，方程组Ax=b有解 B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解 C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解 D．r

C．3 D．4 9．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A．C．

1α 31α 9B．D．

1α 51α 2522?3x210．二次型f（x1，x2）=5x1的规范形是（ ） 22?y2A．y1

22?y2B．?y1 22?y2D．y1

22?y2C．?y1

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 10011．3阶行列式225=_________.

313 37

?21?12．设A=（3，1，0），B=??40?，则AB=_________.

??35???13．设A为3阶方阵，若|A|=2，则|-3A|=_________.

14．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_________. ?a11a1215．设A=?a21a22??a?31a32T

?a11x1?a12x2?a13x3?0a13??为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组a23??a21x1?a22x2?a23x3?0的???ax?ax?ax?0a33?333?311322解为_________.

16．设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为

?1002?1??010?1?2?，则该方程组的通解为_________. ?0024?6???17．已知3阶方阵A的特征值为1，-3，9，则

1A?_________. 318．已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y）正交，则y=_________.

2222?3x2?2x3?x419．二次型f (x1,x2,x3,x4)=x1的正惯性指数为_________.

222?4x2?4x3?2?x1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型，则?的取值应满足20．若f (x1,x2,x3)=x1_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 521．计算行列式D=3333533335333. 35??1122．设A=?0?1??00??0??12??1，B=?01?，又AX=B，求矩阵X.

?10?1????2??358??1021???24023．设矩阵A=，B=?0259?，求矩阵AB的秩. ?001??0030?????24．求向量组α1=（1，4，3，-2），α2=（2，5，4，-1），α3=（3，9，7，-3）的秩. ?x1?x2?x3?x4?0?25．求齐次线性方程组?x1?2x2?4x3?4x4?0的一个基础解系.

?2x?3x?5x?5x?0234?1?100?-1

26．设矩阵A=?021?，求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵.

?012???四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组

38

β1，β2，β3线性无关.

全国2008年10月高等教育自学考试

111．设A为3阶方阵，且?A?，则|A|?（ ）

33A．-9 C．-1

2

2

B．-3 D．9

2．设A、B为n阶方阵，满足A=B，则必有（ ） A．A=B C．|A|=|B|

B．A= -B D．|A|=|B|

2

2

11??10?3．已知矩阵A=??0?1?，B=?11?，则AB-BA=（ ） ????10?A．???2?1?

??10?C．??01? ??11?B．??0?1?

??00?D．??00? ??4．设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是（ ） 00?A．??00?

??11?C．??00? ??10?B．??00?

??11?D．??01? ??5．设向量α1?(a1,b1,c1),α2?(a2,b2,c2),β1?(a1,b1,c1,d1),β2?(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是（ ）

A．若α1,α2线性相关，则必有β1，β2线性相关 B．若α1,α2线性无关，则必有β1，β2线性无关 C．若β1，β2线性相关，则必有α1,α2线性无关 D．若β1，β2线性无关，则必有α1,α2线性相关

?1??2?6．已知?2?,?3?是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（ ）

??1??1?????A．（5，-3，-1） 12?3?C．??2?17?

??5?31?B．??211?

???12?1?D．??12?2?

??531???7．设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（ ）

39

A．α，β，α+β C．α-β，β-γ，γ-α

B．β，γ，γ-β D．α，α+β，α+β+γ

0??102?8．已知矩阵A与对角矩阵D=0?10?相似，则A=（ ）

?00?1???A．A C．E

B．D D．-E

?001?9．设矩阵A=?010?，则A的特征值为（ ）

?100???A．1，1，0 C．1，1，1

2

B．-1，1，1 D．1，-1，-1

10．设A为n(n≥2)阶矩阵，且A=E，则必有（ ） A．A的行列式等于1 C．A的秩等于n

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

B．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为1

a2111．已知行列式230?0，则数a =__________.

1?11?x?2x2?012．设方程组?1有非零解，则数k = __________.

2x?kx?02?1T201??042?13．设矩阵A=???11?3?，B=?357?，则AB= __________. ?????1???14．已知向量组α1??0?,α0?2???2?0??2??1??????,α3??1?的秩为2，则数t= __________. 5t?2?0??4?????115．设向量α?(2,?1,,1),则α的长度为 __________.

216．设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β3等

价，则向量组β1，β2，β3的秩为 __________.

17．已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A|= __________.

18．设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r(A)= __________. 4??12?19．矩阵A=22?1?对应的二次型f = __________. ?4?13???*

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