微积分在高中物理中的应用

一、非匀变速直线运动的位移计算

一小球以速度v做直线运动，其速度随时间变化规律为v??t?2，求小球在0—1s内的位移。

由题意可知，小球的速度并不是均匀变化的，无法运用匀变速直线运动的公式计算位移，现在尝试运用微积分的思想来解决问题。 试想，将[0，1]这段时间分为n个时间段： [0，

2112n?1]，[，],…，[,1] nnnn ?t?ti?ti?1? 每个时间段的长度为

t?t01? nn当Δt很小时，在[ti-1,ti]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似的以速度v(ti-1)做匀速运动，在这一段时间上物体的位移

?xi?v(ti?1)?t

在[0，1]上物体的总位移 x???x??v(tii?1ni?1nni?1)?t

x??212??-ti?1??? ?nn?i?1?221?1?1?n?1?1?-0????????????2n?n?nn??n12?-312?22????n?1??2n 1n?n?1??2n?1??-3?2n61?1??1??-?1???1???23?n??2n???所以，n越大即?t越小时，时间段[0，1]分得越细，时，两者之差趋向于零，即

当n????x与x的近似程度就越好，

i

i?1

n

x?limn???vi?1ni?1?t?1?1??1??x?lim?-?1???1???2?n??2n??n???3?

5x?35所以，小球在0—1s内的位移为m

3由此可以看出利用微积分思想可以解决非匀速直线运动的位移问题。此过程比较麻烦，也可以直接使用牛顿—莱布尼茨公式。

二、变力作功

在弹簧的弹性限度内，将其从平衡位置拉到距平衡位置lm处，已知弹簧劲度系数为k,求此过程中拉力F所做的功W。

在弹性限度内，拉力F与弹簧拉伸长度成正比

F?x??kx

1212W?kxdx?kx?kl ?0 所以 220ll拉力F所做的功为

12kl 2

三、交变电流有效值的计算

求正弦式交变电流i?Imsin?t的有效值

解： 设电流的有效值为I，则I2Rt?Wi

2将i?Imsin?t等号两边同时平方得到i2?Imsin2?t

Q?IRt

令 t?T

所以在半个周期内

22Wi?R?Imsin2?tdtT20T201?cos2?tdt2Tcos2?t?22?1 Wi?RIm????dt

022??2Wi?R?Im1?1?Wi?RI?t?sin2?t?0224?2mT?W12i?4ImTR

所以 I2Rt?W1i?4I2mTR I2?122Im I?Im2 正弦式交流电的有效值为Im2 I??