质点运动学

一、基本概念的理解：

?直线作任意曲线运动时速度v一定改变；加速度不变的运动不一定是直线运动，如平抛运动；圆周运动的加速度不一定始终指向圆心；物体具有恒定的加速运动不一定是匀加速直线运动，如匀速圆周运动；

二、已知运动方程，求速度、加速度、法向加速度、切向加速度等

１．某质点的运动方程为x=2t- 7t3+3 (SI)，则该质点作变加速直线运动，加速度沿X轴负方向

2.某质点作直线运动的运动学方程为x?6?3t?5t（SI制），则质点作变加速直线运动，加速度沿x轴负方向

3.一质点沿x轴作直线运动，其运动方程为x?3?5t?6t（式中x和t的单位分别为m和s），则t=0时质点的速度为v0=5m/s；t=0到t=2s内的平均速度为v=17m/s 。

4. 一列车制动后作直线运动，其运动方程为s?20?10t?0.5t（s的单位为米，t的单位为秒），则制动时的速度为10m/s；列车的加速度为 -1m/s2；停车前列车运动的距离为50m 。 5.质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为??3?2t（SI），则t 时刻质点的法向加速度an=16Rt2；角加速度β=4 rad/s2

6.一质点沿半径为R的圆周运动，其路程S随时间t变化规律为S?bt?2222312ct（SI制），式2中，b、c为大于零的常数，且b?Rc。则质点的切向加速度at?-c m/s2，法向加速度

an?(b-ct)2/R。

三、已知加速度，求速度等

dv??Bvt ，式中B为大于零的常数，当t=0时，初速度为v0，则1.某物体的运动规律为dt速度v与时间t的函数关系为v?v0e1?Bt222。

2.一质点沿x轴运动，其加速度a??kv，式中k为正常数，设t=0时，v?v0，则速度v作为t的函数的表示式为v?v0

1?v0ktdv??kv2t，式中k为正常数，设t=0时，v?v0，则速度3.一质点沿x轴运动，其加速度dtv作为t的函数的表示式为v?

2v0 22?v0kt质点运动定律

一、基本概念理解

惯性是物体具有的固有属性，相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系都是惯性系；力是改变物体状态的原因。

二、已知加速度（运动方程），求力

1.一质量为1kg的质点沿半径为0.5m的圆作圆周运动，其角位置运动方程为

??3t2?t(rad)，则t=0.5s时质点所受的法向力的大小8N

三、已知力(进行受力分析)，求加速度（速度、运动方程）

1. 在升降机天花板上拴一轻绳，其下端系一重物，当升降机以加速度a上升时，绳中的张力正好等于绳子所能承受的最大张力的一半，当绳子刚好被拉断时，升降机上升的加速度为

2a?g

2.如图所示，车在光滑的水平面上运动，已知物块A与车的摩擦系数为?，车与物块A的质量分别为M和m，要使物块A不落

下，车的水平加速度至少应为g ?3. 如图所示，质量相同的物体A、B用轻弹簧连接后，再用细绳悬挂，当系统平衡后，突然将细绳剪断，则剪断的瞬间有A的加速度为2g，B的加速度为零

４.质点在流体中作直线运动，水平方向受与速度成正比的阻力kv（k为正常数）作用，竖直方向重力与浮力平衡。当t?0时质点速度为v0，求：（1）t时刻质点的速度；（2）t时间内质点经过的距离x；（3）质点最后静止时所能达到的最大距离xmax。

k?tk1dvmf??kv?m，分离变量 ??dt??dv则v?v0e

mvdt0v0tvaAA B txkk?t?tmvdx0m(1?e)由v?得?v0emdt??dx 得 x?

dtk00当t??时，ek?tm?0,xmax?mv0 k机械能和功

一、基本概念的理解

合力对质点所作的功，等于每个分力所作功的代数和；保守力做功与路径无关；一对力做功与参照系无关，且有绝对性；内力会改变系统的机械能；势能是个状态量、是相对的、属于系统的；仅在保守力作用下的系统，系统的机械能守恒。。 二、力所作的功

1. 质量为0.5kg的质点，在x-y平面内运动，其运动方程为r?5ti?0.5t2j（SI制），在t=2s到t=4s这段时间内，合外力对质点做的功为3J 2.质量为m=0.5kg的质点，在xoy平面内运动，其运动方程为x=2t+2t2,y=3t(SI),在t=1s到t=3s时间段内，合外力对质点所作的功为40 J

3. 甲缓慢地将一劲度系数为k的弹簧从原长拉长了L，乙继甲之后，缓慢地将弹簧继续拉

???

2长了L，则甲、乙两人所作功大小分别为A甲?3三、动能、动能定理

128kL,A乙?kL2 291. 设质量为10kg的质点以速度v?(8i?3j)m/s运动，则其动能为365J

2.质量为m=10kg的物体沿x轴无摩擦地运动。设t=0时物体位于坐标原点，速度为2m/s，物体在力F?2?5t（N）的作用下，经过4s，此时物体的速度为v=6.8m/s；此过程中力对物体作的功为A=211.2J

?????3.质量m=4kg的质点，在力F?(3?2x)i（SI制）作用下，从x?0处由静止开始沿x轴

?2

作直线运动，当质点运动到x?3m处时加速度为2.25m/s；此过程中力F所做的功为18J；质点在x?3m处的速度为3m/s

4.如图所示，一质量为m的质点在三个力的作用下从A点由静止开始沿半径为R的圆周运动。其中一个力是恒力F0，方向始终沿x轴正向。当质点从A点沿逆时针方向走过1/4圆周到达B点时，速度为v，则此过程中，F0所做的功为?F0R，其它两个力做的功为F0R?

y v B A R O x

12mv。 2动量和角动量

一、基本概念理解

质点的动量和动能都与惯性参考系的选择有关；作用力的冲量与反作用力的冲量总是等值反向；系统的内力不会改变系统的总动量。 二、冲量、动量

1. 质量为20g的子弹沿x轴正向以500m/s的速率射入一木块后，与木块一起仍沿x轴正向以50m/s的速率前进，在此过程中子弹所受冲量为 -9 N.s

??2. 力F?12ti（SI制）作用在质量m?2kg的物体上，使物体从静止

?开始运动，则它在3秒末的动量为54ikg?m/s

y v A 3. 质量为m的汽车在广场上以速率v作半径为R的圆周运动，如图所

?示。车从A点运动到B点，动量的增量为2mvi x 4. 某物体的质量m=10kg，受到方向不变的力F?30?40t（N）的作v B 用，在开始的2s内，此力的冲量的大小为140N·s；物体的动量改变

量的大小为140kg·m/s；若物体的初速度的大小为10m/s，方向与力F的方向相同，则在2s末时物体的速度大小为24m/s

5.一个F=30+4t (SI)的力作用在质量为10kg的物体上，要使冲量等于300N·s，此力的作用时间t为6.86s

6.一质量为m的物体，原来以速率v向北运动，突然受到外力作用后，变为向西运动，但速率仍为v，则外力的冲量大小为2mv；方向为南偏西45°；物体的动量增量大小为2mv。 三、角动量

1.一质量为2kg的质点在某一时刻的位置矢量为r?2i?3j(m)，该时刻的速度为

???v?3i?2j(m/s)，则该质点此时刻的动量p?6i?2j，相对坐标原点的角动量L=?14k。

2.一质量为m的质点作半径为R的圆周运动，其角加速度??1?t （rad?s），t=0时角速度为?0，则t=1s时该质点的角动量大小为mR2(3??0)。

2四、质点力学综合（牛顿定律、动能定理、动量定理、动量守恒等）

1.质量为m?10kg的物体沿x轴方向无摩擦地滑动，t?0时物体静止于原点。若物体在力

?2F?3?4x的作用下移动了3米，则其动量的增量为615kg?m/s，该力对物体作的功为27J。

2. 质量为M=1.5kg的物体，用一根长为L=1.25m的细绳悬挂于天花板上，今有一质量为m=10g的子弹以v0=500m/s的水平速度射穿物体，刚射出物体时子弹的速度大小为v=30m/s，设穿透时间及短。求：（1）子弹穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。

m(v0?v)v?2解：（1）mv?Mv??mv0 v?? =3.13m/s T?Mg?M =26.46（N）

ML（2）I?mv?mv0（或?Mv?）=-4.7（N.s）

3. 已知质量为2kg的质点在xoy平面上运动，其运动方程为r?4ti?3t?2j（SI制），

试求：

（1）任意时刻质点速度矢量的表达式；

（2）任意时刻质点所受的合外力F；

???2????（3）在t1=2s到t2=4s这段时间内，合外力的冲量I；

????????dr?dv??4i?6tj （2）a??6j F?ma?12j(N) 解：（1） v?dtdt???t2?4（3）I??Fdt??12jdt?24j(N?s)

t12（4）在t1=2s到t2=4s这段时间内，合外力所作的功。

12121mv2?mv1??2?42?242?42?122?432(J) 222?4.光滑水平面上放置一静止的木块，木块质量为M。一质量为m的子弹以速度v沿水平方

（4）A???????向射入木块，然后与木块一起运动，求：

（1）子弹与木块间的相互作用力分别对子弹和木块所做的功； （2）碰撞过程中所损耗的机械能.

解（1）子弹射入木块的过程动量守恒，设子弹和木块的共同运动速度为

解得

，则有

根据动能定理有，子弹和木块间的相互作用力对子弹做功为

子弹和木块间的相互作用力对木块做功为

（2）子弹射入木块的过程中由于二者的相互作用能量不守恒，机械能有所损耗，其值为

刚体的定轴转动

一、基本概念理解

转动惯量不仅和总质量有关，还和质量分布有关。 二、转动惯量

121.长为L，质量为M的均质棒绕过其一端并垂直于棒的轴的转动惯量为ML

32.两个均质圆盘A、B的密度分别为?A和?B ，若?A大于?B，但两圆盘的质量和厚度相同，如两盘对通过盘心并垂直于盘面的转轴的转动惯量各为JA和JB，则JA小于JB 三、转动定律

1. 一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始下摆，则初始时刻杆的角加速度为3g，杆转过?角时的角速度为3gsin?

2ll

F

R O

2.如图所示，质量为m，半径为R的飞轮（视为均质圆盘），可绕O轴转动，边缘绕有轻绳。现一人用恒力F拉绳子的一端，运动L米，则飞轮的角加速度?=

2F；拉力F做的功A=FL。 mR四、角动量及角动量守恒

1.花样滑冰运动员绕竖直轴旋转，两臂伸开时转动惯量为J0，角速度为ω0；收拢两臂时，转动惯量变为J0/3，则角速度为??3?0

五、定轴转动的功能关系

1.长为l、质量为m的匀质细杆，以角速度ω绕通过杆端点垂直于杆的水平轴转动，杆对转

1212212mlml?轴的转动惯量为；杆绕轴转动的动能为；杆对转轴的角动量大小为ml?。 3632.一均质圆盘，质量为m，半径为r，绕过其中心垂直于盘面的固定轴转动，角速度为ω，