则该圆盘的转动惯量为

121mr，转动动能为mr2?2

4212J?0。然后她将两臂收回，转动惯量23.一花样滑冰运动员，开始自转时，其动能为E0?减小至原来的1/3，此时她的动能为E?3E0

4.图（a）为一绳长为l、质量为m的单摆，图 （b）为一长度为l、质量为m能绕水平固定轴O自由转动的均质细棒，现将单摆和细棒同时从与竖直线成θ 角的位置由静止释放，若运动到竖直位置时，单摆、细棒的角速度分别以ω1、ω2表示，则?1?2?2

35.一转动惯量为J的圆盘绕通过盘心的固定轴转动，起初角速度为?0，设它所受阻力矩与

Jln21s；转动角速度成正比M= - kω（为正常数）, 1）它的角速度从?0变为?0所需时间是k232?J?0 （2）在上述过程中阻力矩所作的功为86.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，初始角速度为?0。设它所受阻力矩与转动角速

2度的平方成正比M??k?（k为正常数）。则它的角速度从?0变为1?0的过程中所需时间为

32J,阻力矩所作的功为?4J?2

09k?0六、力学综合

１.长为L，质量为m的均匀细杆可绕通过其上端的水平光滑固定轴O转动，另一质量亦为m的小球，用长也为L的轻绳系于上述的O轴上。开始时杆静止在竖直位置，现将小球在垂直于轴的平面内拉开一定角度，然后使其自由摆下与杆端相碰撞（设为弹性碰撞），结果使杆的最大偏角为π/3，求小球最初被拉开的角度?。 解：小球下摆的过程中，只有重力做功，机械能守恒

1mgL(1?cos?)?mv2

2小球与杆碰撞的过程中，内力矩远大于外力矩，只有重力做功，机械能守恒，角动量守恒

mLv?mLv'?J?

1211mv?mv'2?J?2 222碰撞后，杆上摆过程中，只有重力矩做功，机械能守恒

mg122L1(1?cos?0)?J?2（2分） 其中J?mL所以??arccos

3322２.如图所示，质量为m，长为l的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA）后放手，棒下摆到竖直位置（OA）时，与静止放置在水平面A处的质量

'

为M的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离s后停止。设物体与水平面间的摩擦系数处处相同，求证：

6m2l??(m?3M)2s

解：（1）机械能守恒，mgl12122?I??ml? 2261212'（2）角动量与机械能守恒，ml??ml??lMv

331122112'212 ?ml???ml??Mv

2323212 （3）动能定理：??Mgs?0?Mv

26m2l联立求解得：?? 2(m?3M)s

振动

一、基本概念理解

单摆系统作简谐振动时，摆球绕悬点转动的角速度就是振动的角频率。当物体受到的合力大小与位移成正比时，物体不一定作简谐振动。任何一个复杂振动都可看成多个简谐振动的合成。

二、简谐振动的物理量（初位相、位相、位相差、周期、角频率、时间、振动方程） 1.如图1所示为质点作简谐振动的x-t图线，根据此图，它的振动周期为2.4s，初相为??，

355?振动方程为x?10cos???t???cm。

3??6x/cm 10 5 0 -10 （图 1） 1 t/s 图2

2.如图2所示为质点作简谐振动的x-t曲线，根据此图，它的周期为24s，用余弦函数描述

7

74?时初位相为?2?，振动方程为x?4cos???t???cm。

33??12

2?3.如图所示为质点作简谐振动的x?t曲线，则其振动方程为x?10cos?t=1s时质??t???m，

3??点的相位为5?

3

图3 图4

4．用余弦函数描述一简谐振动，若其速度和时间v?t的关系曲线如图所示，则振动的初位相为?5?

65.两弹簧振子1与2分别沿ox轴作简谐振动。已知它们的振动周期分别为T1、T2，且T1=2T2=2s，在t=0时，两球都在平衡位置上，且振子1向x轴正方向运动，振子2向x轴负方向运动。当t=

14?s时，振子2与振子1的位相差为 33100?t?0.7?)，某时刻它在x?32cm处，且向x轴负向6.一质点作简谐振动x?6cos(3s 运动，它要重新回到该位置至少要经历的时间为A2007. 如图所示，光滑圆弧形轨道半径为R，在圆心处放置小球A，在圆心正下方的C点旁边放一个与A完全相同的小球B，B与C点非常靠近，现让A、B两球同时运动，则小球到达C点的情况是A先到

RBCT???8. 一质点作简谐振动，振动方程为x?Acos??t??。在t?（T

44??为周期）时刻，质点的加速度为

12A?2 29.一物体系于弹簧的下端，由于物体的重量，使弹簧伸长了?l?10.0cm，如果给物体一向下的冲击力，使它具有了1m/s的向下速度，它就上下振动起来。设平衡位置为原点，竖直向下为x轴正方向。

（1）求振动的圆频率?、振幅A和初相位?0；（2）写出振动方程；（3）求物体由平衡位

置到

3A处所需的最短时间。 2mg ?l解：（1）k?

??kmg/?lg10????10(rad/s) mm?l0.12220v??1? A?x???0??0????0.1(m)

?10????由旋转矢量图知：?0?3?或?0???

223?（2）x?0.1cos??10t???

?2?（3）由旋转矢量图知：???三、振动的合成

? t?????/3?0.1(s) 3?101.一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程分别为x?5cos(3t??3)m、

x?5cos(3t?4?)m，则合振动的振幅为0 32.两个同方向同频率的简谐振动，振动方程分别为x1?3cos(50?t??)(m)；

4x2?4cos(50?t?3?)(m)；则它们的合振动频率?=25Hz；合振动的振幅为A=5m 4波动

一、基本概念理解

波动实为各质点相位依次相差一定值的集体振动，即是相位的传播过程，也是能量或信息的传播过程。波的传播速度与质点的振动速度不同。

二、平面简谐波（波长、波速、周期、频率、能量、波动方程）

1.已知一平面简谐波的波函数为 y?0.1cos?(25t?x)，其中x,y的单位为m,t的单位为s，

10该平面简谐波波长?=20m,周期T=0.8s,波速u=25m/s

2.若一平面简谐波的波动方程为y=Acos(Bt-Cx)(SI)，式中A、B、C为正值恒量，则波长为圆频率为B，周期为

2?，C2?B，波速为 BC3.沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y?0.05cos?10?t?4?x?（SI制），则该波的周期为0.2s，波速为2.5m/s，波长为0.5m。

4.传播速度u?100m/s，频率??50Hz的平面简谐波，在波线上相距为0.5m的两点之间的相位差为

? 25.在同一均匀媒质中，两列相干的平面简谐波强度之比是I1:I2?4，则两列波的振幅之比

A1:A2为2

6.一列沿x轴正向传播的简谐波，其周期大于0.25s,已知t1?0和t2?0.25s时的波形如图所

示，试求：

（1）P点的振动方程；（2）此波的波函数；

3??0.45m,??0.6m4u(t2?t1)?解：(1)A=0.2m,由图有

?4

u?T??/4t2?t1?0.6m/s?u?1s,??2?/T?2?由t=0时，yp0?cos?p0?0,

t?0,vp?0，?p0???2 ，yp?0.2cos(2?t??2) m

（2）O点振动超前P点?，则O点为

??， yO?0.2cos(2?t?)

22则波方程为 y?0.2cos?2?(t???x??)?? m 0.62?（3）O点振动方程：y?0.2cos(2?t??2)??0.2sin2?t m

7.一简谐波沿x轴正方向传播，波长λ=4m，周期T=4s，已知x=0处质点的振动曲线如图所示。

(1)写出x=0处质点的振动方程； (2)写出波的表达式；

(3)写出t=1s时刻的波形曲线表达式。 解：设y0?（1）y0?2cos(2cos(2?t??) Tt?5?)

2323268.已知一平面简谐波在t?0时刻的波形曲线如图所示，波速u?10m/s，波长??2m。

) （2）y?2cos(???(t?x)??) （3）y?2cos(?x?试求：（1）该平面简谐波的波函数；（2）P点的振动方程；（3）P点回到平衡位置所需的最短时间。

解：（1）设平面简谐波的波函数为y?Acos[?(t?x)??0] u