π

已知v0、t0、B0，粒子的比荷为，不计粒子的重力．求：

B0t0(1)t＝t0时，求粒子的位置坐标；

(2)若t＝5t0时粒子回到原点，求0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离； (3)若粒子能够回到原点，求满足条件的所有E0值．

qπ

解析 (1)由粒子的比荷＝，

mB0t0

2πm

则粒子做圆周运动的周期T＝＝2t0

B0q则在0～t0内转过的圆心角α＝π

2v 0

由牛顿第二定律qv0B0＝m

r1

v0t0

得r1＝

π

2v0t0

位置坐标(，0)．

π

(1分) (2分) (2分) (1分) (1分)

(2)粒子t＝5t0时回到原点，轨迹如图所示

r2＝2r1

mv0mv2r1＝ r2＝

B0qB0q

(2分) (1分) (1分) (1分)

得v2＝2v0

2v0t0qπ

又＝，r2＝ mB0t0π

粒子在t0～2t0时间内做匀加速直线运动，2t0～3t0时间内做匀速圆周运动，则在0～5t0时间

v0＋2v032

内粒子距x轴的最大距离：hm＝t0＋r2＝(＋)v0t0. (2分)

22π(3)如图所示，设带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r1，在x轴下方做圆周运动的轨道半径为r2′，由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足：

n(2r2′－2r1)＝2r1，(n＝1,2,3，?)

mv0mvr1＝ r2′＝

B0qB0q

n＋1

联立以上各式解得v＝v，(n＝1,2,3，?)

n0

E0qt0又由v＝v0＋

m

v0B0

得E0＝，(n＝1,2,3，?)．

nπ2v0t0v0B032

答案 (1)(，0) (2)(＋)v0t0 (3)，(n＝1,2,3，?)

π2πnπ

(20分)如图7甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场．取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，一质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区．当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)．上述m、q、d、v0为已知量．

(1分) (1分) (1分) (1分) (1分)

图7

1

(1)若Δt＝TB，求B0；

23

(2)若Δt＝TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；

24mv0

(3)若B0＝，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB.

qdmv03v0 2π1dπd

＋arcsin? 答案 (1) (2) (3)或?4?2v0qdd3v0?2解析 (1)设粒子做圆周运动的半径为R1， 2mv 0

由牛顿第二定律得qv0B0＝

R1据题意由几何关系得R1＝d

mv0

联立①②式得B0＝

qd

① ② ③ ④ ⑤

2v 0

(2)设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得a＝

R2

据题意由几何关系得3R2＝d

3v0 2

联立④⑤式得a＝.

d

⑥ ⑦

2πR

(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T＝

v0由牛顿第二定律得

mv0 2

qv0B0＝

R

4mv0

由题意知B0＝，代入⑧式得

qdd＝4R

⑧

⑨

粒子运动轨迹如图所示，

O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向的夹角为θ，在每个TB内，只有A、B两个位置才有可

π

能垂直击中P板，且均要求0<θ<，由题意可知

2

π＋θ2TBT＝ ⑩ 2π2设经历完整TB的个数为n(n＝0,1,2,3，?) 若在A点击中P板，据题意由几何关系得 R＋2(R＋Rsin θ)n＝d 当n＝0时，无解

? ?

当n＝1时，联立⑨?式得 π1θ＝(或sin θ＝) 62联立⑦⑨⑩?式得 πdTB＝

3v0

?

? ?

当n≥2时，不满足0<θ<90°的要求

若在B点击中P板，据题意由几何关系得 R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsin θ)n＝d 当n＝0时，无解

? ?

当n＝1时，联立⑨?式得

11

θ＝arcsin(或sin θ＝)

44联立⑦⑨⑩?式得 π1d＋arcsin? TB＝?4?2v0?2

?

?

当n≥2时，不满足0<θ<90°的要求．

知识专题练 训练8

题组1 带电粒子在叠加场中的运动分析

1．(双选)如图1所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场．在该区域中，有一个竖直放置的光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球．O点为圆环的圆心，a、b、c、d为圆环上的四个点，a点为最高点，c点为最低点，b、O、d三点在同一水平线上．已知小球所受电场力与重力大小相等．现将小球从环的顶端a点由静止释放，下列判断正确的是( )

图1

A．小球能越过d点并继续沿环向上运动 B．当小球运动到d点时，不受洛伦兹力

C．小球从d点运动到b点的过程中，重力势能减小，电势能减小 D．小球从b点运动到c点的过程中，经过弧bc中点时速度最大 答案 BD

解析 电场力与重力大小相等，则二者的合力指向左下方45°，由于合力是恒力，故类似于新的重力，所以ad弧的中点相当于竖直平面圆环的“最高点”．关于圆心对称的位置(即bc弧的中点)就是“最低点”，速度最大；由于a、d两点关于新的最高点对称，若从a点静止释放，最高运动到d点，故A错误；当小球运动到d点时，速度为零，故不受洛伦兹力，故B正确；由于d、b等高，故小球从d点运动到b点的过程中，重力势能不变，故C错误；由于等效重力指向左下方45°，由于弧bc中点是等效最低点，故小球从b点运动到c点的过程中，经过弧bc中点时速度最大，故D正确．

2．如图2甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xOy平面垂直的匀强磁场．在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度为v0的带电微粒．(已知重力加速度为g)

图2

(1)当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆