1.1.2 变化率问题

一、学习要求

1．会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时加速度； 2.理解并掌握导数的概念，学会求函数在某一点处导数的方法。 二、先学后讲 1．瞬时速度

物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 物体在

时刻的瞬时速度

就是运动物体在

到

这段时间内的平均变化率

，当时的极限，即

v?lim2．瞬时加速度

S(t0??t)?S(t0)?S?lim。

?t?0?t?t?0?t运动物体速度的平均变化率，当时，无

限趋近于一个常数，这个常数称为物体在时的瞬时加速度，即

a?lim3．瞬时变化率

函数

在

v(t??t)?v(t0)?v?lim0。

?t?0?t?t?0?t处的瞬时变化率是：

f(x0??x)?f(x0)?y?lim。

?x?0?x?x?0?xlim4．导数的概念

函数

在

处的瞬时变化率是：

f(x0??x)?f(x0)?y?lim，

?x?0?x?x?0?xlim称它为函数

在

处的导数。记为f?(x0)或y?|x?x0，即

f?(x0)=y?|x?x0= lim【要点说明】

f(x0??x)?f(x0)?y?lim。

?x?0?x?x?0?x

（1）函数变化率，也就是函数

（2）物体的位移

在某一点

在区间

处的导数就是函数

上的平均变化率当

在处的瞬时时的值； 关于时间

关于时间的导数是物体的瞬时速度；物体运动的速度

的导数是物体的瞬时加速度。

（3）用导数的定义求函数在某一点

处的导数的步骤：

①求平均变化率：

②取极限，得导数f?(x0)?lim （4）在平均变化率形式可以变化，如变成

，

等，即

；

f(x0??x)?f(x0)?y?lim 。

?x?0?x?x?0?x中，

是常数，

是可以趋近于0的变量，其

。

三、问题探究 ■合作探究 例1．质点按规律时的瞬时速度为解：设质点在

做直线运动（位移单位：,时间单位：），若质点在

，则常数

。 （答案：2） ，则位移的增量为：

，

∴∴质点在∴例2．函数

解：f?(0)?lin

附近的时间变化量为

， ，

时的瞬时速度为v?lim，

。

在

处的导数值f?(0)?。

?S?lim(4a?a?t)?4a，

?t?0?t?t?0?x?0f(0??x)?f(0)f(0??x)?f(0)f(?x)?lin?lin ?x?0?x?0?x?x?x

?lin

■自主探究 1. 已知函数

【解析】lim

?x(2??x)?lin(2??x)?2。

?x?0?x?0?x可导且f?(1)?1，则lim?x?0f(1??x)?f(1)???x。

?x?0f(1??x)?f(1)?f?(1)?1。

??x2．一个物体的运动方程是秒末的瞬时速度是【解析】v?lim

四、总结提升

. ,其中单位是米，的单位是秒，则物体在3

?SS(3??t)?S(3)?lim?lim(?t?7)?7。

?t?0?t?t?0?t?0?t本节课你主要学习了 。 五、问题过关 1. 已知函数

f(1??x)?f(1)?。

?x?0?xf(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)??lim??f?(1)??1。 【解析】lim?x?0?x?0?x??x可导且f?(1)?1，则lim

2．某一做直线运到的物体，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是则物体的初速度是

【解析】初速度就是

。

时的瞬时速度，根据瞬时速度的定义，知

，

v?lim?SS(0??t)?S(0)?lim?lim(3??t)?3

?t?0?t?t?0?t?0?t。

∴该物体的初速度是